二维XY格子的解析

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1、课程论文:解析部分的要点概述1.60年代中，Merlin等人严格证明二维连续对称系统不存在长程序。2.Stanley和Kaplan用级数展开证明了二维连续对称体系在有限温时物理量可以由奇异性.磁化率χ趋于无穷。3.二维连续对称体系没有长程序但是可以由准长程序。4.K-T相变是双二维体系的特点，相变时比热及其各阶导数都是连续的，所以是无穷级相变。5.低温下带有正负拓扑荷的元激发相互吸引，类似偶极矩。当温度升高，超过某临界温度Tc，热运动破坏束缚态，形成独立元激发。6.相变Tc处，关联函数G(i)突变，磁化率发散。从关联函数，自旋波的角度来推导临界温度及有关物理量。H=-Jcosφi-

2、φj基态时φi-φj=0，低温时以φi-φj作小量展开，cos⁡(φi-φj)≈1-12(φi-φj)2，则有：H=-NqJ2+J2(φi-φj)2其中q为配位数。-NqJ2为基态能量，对G(r)没有影响。下面讨论取H=J2(φi-φj)2傅里叶变换：φi=1Nkφ(k)e2πik∙rH=J21Nkφk(e2πik∙ri-e2πik∙rj)2=kE(k)φ(k)2其中，Ek=Ja1-cos⁡(2πk∙a)2=2π2Ja(k∙a)2a为ri-rj可能的取值。正方格子a1=axa2=ay代入得：Ek=2π2Ja2k2(ak≪1)哈密顿量有平方项组成，有高斯分布形式Ek

3、φ2(k)=12kBTφ(k)2=kBT2E(k)由于体系均匀，各偏离角的平方平均值相同。φi2=1Nkφ(k)2求和变积分：k→Lddkφi2=1Nkφ(k)2=Ld2NkBTdd(k)E(k)代入自旋波能谱：φi2=LdkBT4π2NJa2dkk2dk=1L12a2dkd=1Na=L1L12a2πkdkd=2Na2=L21L12a4πk2dkd=3Na3=L3φi2=LkBT2π2Ja2kd=1短程序kBT2πJlnL2ad=2准长程序kBT2πJd=3长程序从相关函数角度进一步分析准长程序问题：si=sj=0根据Mermin的结果Gri→,rj→=si→,sj→取r→j=0,0，ri→

4、=r→Gr→=s→r→⋅s0=cos⁡pr→-ϕ0=Re⁡ⅇⅈφr→-φ0数学准备：对高斯分布：ρy=12πα2e-y22α2y2n=-∞∞ρyy2nⅆy=2n!2n⋅n!α2nη2n+1=0ⅇⅈky=n=0∞1n!ⅈknyn=m=0∞ⅈk2m2m!2m!2m⋅m!α2m=m=0∞-1mm⋅n2α22m⋅ⅇ-k2α22k2y2=k2α2ⅇⅈky=ⅇ-12ky2Gr→=ⅇ-12φr→-φ02φr→-φ02=1Nk→2-2cos⁡k→⋅r→φr→2=1Nk→2-2cos⁡k→⋅r→kBT2Ek→代入正方格子的自旋波能谱Ek→=2π2Ja2k2求和换积分：k→→Ld∫ⅆdk→正方格子：d=2L2=

5、Na2φ-1r-φ02=kBT2πzJ∫1-cosk→,r→k2ⅆ2k→=kBT2π2J02πa1kⅆk02πⅆθ1-coskrcosθ=kBTπJ02πaⅆkk1-J0krJ0kr为贝塞尔函数，令x=krφ-1r-φ02=kBTπJ02πraⅆkk1-J0x=kBTπJ02πⅆxx1-J0x+kBTπJ2π2πraⅆkk1-J0x=kBTπJlnra+kBTπJ02πⅆxx1-J0x-kBTπJ2π2πraⅆxxJ0x三项分别为主要项收敛常数Q1，常数项Q2Q1=kBTπJ02πⅆxx1-J0x=kBTπJ02π1-n=0∞-1nx2n22nn!2ⅆxx=kBTπJn=1∞02π-1n⋅x

6、2n-122nn!2ⅆx=kBTπJn=1∞-1n2π2n2n⋅22nn!2上式是收敛的。第三项积分上限2πra。我们感兴趣的是ra≫1，ra=∞x→∞时，J0≈2π1ncosx-π4，Q2=kBTπJ2π∞2π⋅x-32cosx-π4ⅆx为一个与r无关的常数φ-1r-φ02=kBTπJlnra+Q,+Q2G2r=ⅇ-12φ-1r-φ02=Cra-kBT2πJ∝ra-kBT2πJC=ⅇ-12Q1+Q2=constr很大时Gr→→0T很小，Gr→趋于0很慢，低温下在相当大范围内依然相关，所以为准长程序对比d=1Gr→∝ⅇ-kBT2Jra短程序d=3Gr→∝ⅇ-kBTπJ长程序分析序参量以及磁化

7、率r很大时，近似取s→r→⋅s→0=s→r→⋅s→0=MM2=limr→∞Gr→⇒M=aLkBT4πJL增大M→0低温时kBT4πJ很小，aL衰减很慢不太大的L内M不为0，准长程序由临界指数定义Gr∝r-ηη=kBT2πJ磁化率χ∝∫s→r→⋅s→0ⅆ2r→∝0∞rⅆrrkBT2πJ=∞T≤4πJkB=Tc有限T>Tc1.Tc=4πJkB2.χ=∞T=Tc有限T>Tc3．η=kBT2πJ4.s∝L2-η三角晶