三角形外角定理的证明.ppt

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1、三角形外角定理的证明ABCDEF证明：三角形内角和为180°已知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°ABCDE证明：作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA.则：∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）复习回顾ABCD像∠ACD那样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.外角的特征有三条：（1）顶点在三角形的一个顶点上（2）一条边是三角形的一边（3）另一条边是三角

2、形某条边的延长线.探索新知思考：1、如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？2、任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.求证：∠1=∠2+∠3证明：∵∠4+∠2+∠3=180°（三角形内角和定理）即∠2+∠3=180°-∠4又∵∠1+∠4=180°(1平角=180°)即∠1=180°-∠4∴∠1=∠2+∠3(

3、等量代换)ABCD1243证明：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.求证：∠1>∠2,∠1>∠3DABC123证明:∵∠1=∠2+∠3（三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和）∴∠1>∠2,∠1>∠3由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.例1已知:如图，在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证：AD∥BC.ACDBE方法一：利用“内错角

4、相等，两直线平行”方法二：利用“同位角相等，两直线平行”方法三：利用“同旁内角互补，两直线平行”例1已知:如图，在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证：AD∥BC.证明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)∠B=∠C(已知)∴∠C=∠EAC(等式性质)∴∠DAC=∠C(等量代换)∴a∥b(内错角相等,两直线平行).ACDBE∵AD平分∠EAC(已知)∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义)··ACDBE··例1已知:如图在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证：AD∥BC

5、.∵AD平分∠EAC(已知)∴∠DAE=∠EAC(角平分线的定义)∴∠DAE=∠B(等量代换)∴a∥b(同位角相等,两直线平行)证明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)∠B=∠C(已知)∴∠B=∠EAC(等式性质)ACDBE··例1已知:如图在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证：AD∥BC.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠C（等量代换）∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的

6、内角和定理）∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°（等量代换）即：∠B+∠DAB=180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）∴∠C=∠EAC（等式的性质）21∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）21例2已知:如图,P△ABC内一点,连接PB,PC.求证：∠BPC>∠A证明：如图,延长BP，AC于点DD∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义）∴∠BPC>∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义）∴∠PDC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∴∠B

7、PC>∠A1、已知：如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°.求：∠B和∠ACB的度数.ABCD解：∵∠DCA是△ABC的一个外角(已知)∠DCA=100°(已知)∠A=45°(已知)∴∠B=100°-45°=55°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角意义)∴∠ACB=80°(等式的性质)随堂练习100°45°2、已知：如图,在△ABC中,∠1是它的一个外角,E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证:∠1>∠2.证明：∵∠1是△ABC的一个外角(已知)∴

8、∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∵∠3是△CDE的一个外角(外角定义)∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∴∠1>∠2(不等式的性质)CABF1345ED2巩固提高小结：本节课你有何收获？推论1：推论2：三角形的