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1、二次函数复习（１）龙池初中曾凡兵·二次函数的概念·二次函数的图象特点·二次函数的性质·题型分析形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数。如：y＝－x2，y＝2x2－4x＋3，y＝100－5x2，y=－2x2＋5x－3。1.什么叫二次函数?下列函数中,哪些是二次函数?做一做:是不是是是不是2.特殊的二次函数y=ax2(a≠0)的图象特点和函数性质(1)是一条抛物线；(2)对称轴是y轴；(3)顶点在原点；(4)开口方向:a>0时,开口向上；a<0时,开口向下.图象特点:（1）a>0
2、时，y轴左侧，函数值y随x的增大而小；y轴右侧，函数值y随x的增大而增大。a<0时，y轴左侧，函数值y随x的增大而增大；y轴右侧，函数值y随x的增大而减小。（2）a>0时，ymin=0a<0，ymax=0函数性质：3.一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特点和函数性质(1)是一条抛物线；(2)对称轴是:x=-(3)顶点坐标是:(-,)(4)开口方向:a>0时,开口向上；a<0时,开口向下.2ab4a4ac-b22ab图象特点:（1）a>0时，对称轴左侧(x<-)，函数值y随x的增大而减小；对称轴右侧
3、(x>-)，函数值y随x的增大而增大。a<0时，对称轴左侧(x<-)，函数值y随x的增大而增大；对称轴右侧(x>-)，函数值y随x的增大而减小。（2）a>0时，ymin=a<0时，ymax=2ab2ab2ab2ab4a4ac-b24a4ac-b2函数性质：题型分析:(一)抛物线与x轴、y轴的交点急所构成的面积例1:填空：(1)抛物线y＝x2－3x＋2与y轴的交点坐标是____________，与x轴的交点坐标是____________；(2)抛物线y＝－2x2＋5x－3与y轴的交点坐标是____________
4、，与x轴的交点坐标是____________．(0,2)(1,0)和(2,0)(0,-3)(1,0)和(,0)23例2:已知抛物线y=x2-2x-8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。(1)证明:∵△=22-4*(-8)=36>0∴该抛物线与x轴一定有两个交点(2)解:∵抛物线与x轴相交时x2-2x-8=0解方程得:x1=4,x2=-2∴AB=4-(-2)=6而P点坐标是(1,-9)∴S△ABC=27xyABPxyOAx
5、yOBxyOCxyOD例3:在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为(二)根据函数性质判定函数图象之间的位置关系答案:B(三)由函数图象上的点的坐标求函数解析式例4:已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标。答案:(1)y=-x2-2x(2)对称轴:x=-1顶点坐标(-1,1)例5:已知二次函数y=x2－mx－4．设该函数的图象与x轴的交点坐标为(x1，O)、(x2，O)，且,求m的值，并
6、求出该函数图象的顶点坐标．解:因为该函数的图像与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，O)，所以x1、x2是方程x2－mx－4=0的两个实数根，所以x1+x2=m，x1·x2=－4．所以二次函数的解析式为y=x2－4x－4=(x－2)2－8，因此坐标顶点为(2，－8)(四)二次函数与一元二次方程综合题例6:某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万。该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx,若第1年的维修、保养
7、费用为2万元，第2年为6万元。（1）求y的解析式；（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？解:（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6,分别代入y=ax2+bx,得a+b=2,4a+2b=6,解得:a=1,b=1,∴y=x2+x.（2）设g＝33x-100-x2-x,则g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156.由于当1≤x≤16时，g随x的增大而增大，故当x=4时，即第4年可收回投资。(五)实践与探索题练习题:1.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－
8、2）。 （1）求此二次函数的解析式； （2）设此二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，求线段OA，OB的长度之和。2.已知抛物线与x轴交于B，A两点，其中B在x轴的负半轴上，点A在x轴的正半轴上，该抛物线与y轴交于点C.（1）写出抛物线的开口方向与点C的坐标（用含m的式子表示）；（2）若tg∠CBA=3，试求抛物线的解析式；（3）设点P（x，y）（其中0＜x＜3＝是（2）中
