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时间:2020-03-04
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1、第4页共4页§21.4无理方程(一)[教学目标]1.知道无理方程、代数方程的概念,并会识别无理方程;2.经历探索无理方程解法的过程,领会无理方程“有理化”的化归思想;3.会解简单的无理方程,,知道解无理方程需要检验,及如何检验。[教学重点]掌握简单的无理方程的解法[教学难点]了解无理方程产生增根的原因[教学方法]带领学生类比学习,探究新知。[教学过程]问题1∶已知平面直角坐标系内的A、B两点。其中点A坐标,点B是轴上的点,且A、B两点间的距离等于5,求点B的坐标。解∶由点B在轴上,可设点坐标为,由两点间距离公式,得∶即∶①[师述∶]大家能谈谈方程①的特点吗?[学生回答]∶这个方程的根号里含有
2、未知数。[师述∶]如果让你给这种根号里含有未知数的新方程起个名,你会怎么称呼它?(停顿,让学生稍微思考一下)[学生回答]∶这是根式方程,无理方程…………………[师述]∶根式方程这个名称倒是挺形象的。那无理方程(停顿,让学生稍微思考一下)同学们不妨回顾一下数与式。我们都知道实数可分为有理数和无理数,有理数又可分为整数和分数(同时板书)。而代数式可分为有理式和无理式,有理式又可分为整式和分式。通过比较,我们可以看到代数式和实数分类结构相同,如下图所示∶,[师述]∶那我们现在来看方程的分类。我们学过的一元一次方程,二元一次方程(组),一元高次方程,都属于整式方程,前阶段我们还学过分式方程。由类比,
3、我们把整式方程和分式方程统称有理方程,而我们刚才列出的方程①就是无理方程。[师述∶]我们给出无理方程的概念∶方程中含有根式,且被开方数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程。(同时让学生把书翻开P.40,把定义划下来)我们继续定义∶有理方程和无理方程统称代数方程。代数方程结构如下∶第4页共4页在黑板上写无理方程的定义时∶可写为含有未知数的方程叫做无理方程。问题2∶试判断下列方程中哪些方程是无理方程。(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)解∶(1)是一元一次方程,(3)是二元一次方程,都属于整式方程;(5)是分式方程,而(2)、(4)、(6)、(7)、(8)都是无理方程,以上八
4、个方程都是代数方程。[师述∶]现在,我们知道无理方程的概念了。接下来,该一起来探究无理方程的解法了。我们不妨来研究问题2中的方程(2)。问题3∶解无理方程(2)②解∶方程两边平方,得∶整理得∶③[师问]∶请问同学们,你平方的目的是什么?[学生回答]∶两边平方去掉了根号,把无理方程化成了有理方程。[师述]∶同学们回答得非常好,通过平方我们把无理方程的求解化归到有理化的求解,显然有理方程我们是会解的。同时板书学生继续求解∴[师生共同探讨]∶不是方程②的解,那我们是不是方程解错了?学生稍作停留,回答说没有。但却是方程③的解,这是为什么呢?(把问题抛给学生。)[学生回答]∶平方,平方把无理方程化为了
5、有理方程,但是.......,原方程中未知数允许取值的范围扩大了,如方程②平方前未知数x的取值范围是,而方程②平方后未知数x允许的取值范围是一切实数,平方使未知数x的取值范围扩大了。所以也就产生了增根。[师述]:很好。看来由于解无理方程会产生增根。因此有检验的必要。现在我们就以方程②为例,来进行检验。那怎样检验呢?停顿第4页共4页能像分式方程那样检验吗?......只能把解依次代入原方程的左右两边,加以检验。如果左=右,解是原方程的解,否则,解是原方程的增根,要舍去。[师述]∶老师带领学生在黑板上进行一次检验。检验∶当时,方程②,右边=4,可知是方程②的根;当时,方程②,右边=-1,而右边不
6、可能是负数,可知是方程②的增根,应舍去。所以,方程②的解是[师问]:通过刚才的探究,我们初步掌握了解无理方程的步骤。那现在我们一起把问题1中的无理方程解完好吗?学生解,教师准备好,然后投影。[师述]∶那这个方程怎么没产生增根呢?[学生回答]∶方程①平方前后未知数x的取值范围都是一切实数,没有变化,所以没有产生增根。归纳解简单无理方程的一般步骤,可用流程图表示为∶开始平方,去根号(无理方程有理化)解有理方程检验是否原方程的解是增根,舍去写出原方程的解,结束课堂小结:本节课你的收获是什么?1.通过本节课的学习,你掌握了哪些知识?学生答∶知道了无理方程的概念,探究了其解法。解法中,通过平方将无理方
7、程化归为有理化求解。我们还探究了无理方程产生增根的原因。教师补充∶前面我们学过的分式方程,通过去分母使分式方程整式化,也体现了化归的数学思想。2.你领悟了哪些常用数学思想与方法?答∶类比法,化归思想。备用练习∶解问题2中的无理方程(8)∶解∶移项∶第4页共4页两边平方,得∶整理得∶检验∶是原方程的增根,舍去。而是原方程的解。[布置作业]完成练习册P.18-19习题21.4(1)板书设计ABCD挂例题,实物投影
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