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1、11.3.2 多边形的内角和【教学目标】知识与技能1.了解多边形的内角、外角等概念.2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.过程与方法在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.情感、态度与价值观体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.【教学重难点】重点:多边形的内角和与多边形的外角和公式.难点:多边形的内角和定理的推导.【教学过程】一、复习导入我们已经证明了三角形的内角和为180°,在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数,知道四边形的内角和为360°,现在你能利用三角形的内角
2、和定理证明吗?多边形的内角和[投影1]如图,从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?它们将四边形分成几个三角形?那么四边形的内角和等于多少度?可以引一条对角线;它将四边形分成两个三角形;因此,四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°.类似地,你能知道五边形、六边形……n边形的内角和是多少度吗?[投影2]观察下面的图形,填空:从五边形一个顶点出发可以引 对角线,它们将五边形分成 三角形,五边形的内角和等于 ; 从六边形一个顶点出发可以引 对角线,它们将六边形分成 三角形,六边形的内角和等于 ; [投影
3、3]从n边形一个顶点出发,可以引 对角线,它们将n边形分成 三角形,n边形的内角和等于 . n边形的内角和等于(n一2)·180°.从上面的讨论我们知道,求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求.现在以五边形为例,你还有其它的分法吗?分法一 如图1,在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、OB、OC、OD、OE,则得五个三角形.∴五边形的内角和为5×180°-2×180°=(5-2)×180°=540°.分法二 如图2,在边AB上取一点O,连OE、OD、OC,则可以(5-1)个三角形.∴五边形的内角和为(5-1)×180°-180°=(5-
4、2)×180°.如果把五边形换成n边形,用同样的方法可以得到n边形内角和=(n-2)×180°.二、例题[投影6]例1:如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?如图,已知四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,求∠B与∠D的关系.【分析】∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系?解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°,∠A+∠C=180°,∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=180°.这就是说,如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补.[投影7]例2:如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的
5、外角和等于多少?如图,已知∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6分别为六边形ABCDEF的外角,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.【分析】多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系?六边形的外角和是多少度?解:∵∠1+∠BAF=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDE=180°,∠5+∠DEF=180°,∠6+∠EFA=180°,∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180°.又∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°, ∴∠BAF+∠ABC+∠BCD+
6、∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360°.这就是说,六边形形的外角和为360°.如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果:n边形的外角和等于360°.对此,我们也可以这样来理解.[投影8]如图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°.三、课堂练习课本24页习题11.3第2、3题.四、课堂小结n边形的内角和是多少度?n边形的外角和是多少度?五、布置作业课本24页第2、3题.
