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时间:2020-03-03
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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.满足的复数A.B.C.D.2.对一个容量为的总体抽取容量为的样本,学科网当选取简单随机抽样、zxxk系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是则A.B.C.D.3.已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且=A.-3B.-1C.1D.34.的展开式中的系数是zxxkA.-20B.-5C.5D.205.已知命题在命题
2、①②③④中,真命题是A.①③B.①④C.②③D.②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的,则输出的属于A.B.C.D.7.一块石材表示的几何何的三视图如图2所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于A.1B.2C.3D.48.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为,第二年的增长率为,则该市这两年生产总值的年平均增长率为A.B.C.D.9.已知函数则函数的图象的一条对称轴是A.B.C.D.10.已知函数zxxk的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是A.B.C.D.二、填空题:本大题共
3、6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.(一)选做题(请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,学科网如果全做,则按前两题记分)11.在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线与曲线交于两点,则,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线的极坐标方程是12.如图3,已知是的两条弦,则的半径等于13.若关于的不等式的解集为,则(二)必做题(14-16题)14.若变量满足约束条件,且的最小值为-6,则15.如图4,正方形的边长分别为,原点为的中点,抛物线经过16.在平面直角坐标系中,为原点,动点满足的最大值是
4、三、解答题:本大题共6小题,共75分.学科网解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为.现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲、乙两组的研发相互独立.(I)求至少有一种新产品研发成功的概率;(II)若新产品研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.18.(本小题满分12分)如图5,在平面四边形中,(I)求的值;(II)若求zxxk的长.19.(本小题满分1
5、2分)如图6,四棱柱的所有棱长都相等,四边形均为矩形.(I)证明:(II)若的余弦值.20.(本小题满分13分)已知数列{}满足(I)若{}是递增数列,且成等差数列,求的值;(II)若,且{}是递增数列,{}学科网是递减数列,zxxk求数列{}的通项公式.21.(本小题满分13分)如图7,为坐标原点,椭圆的左、右焦点分别为,离心率为;双曲线的左、右焦点分别为,离心率为.已知且(I)求的方程;(II)过作的不垂直于轴的弦的中点.当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.22.(本小题满分13分)已知常数(I)讨论在区间
6、上的单调性;(II)若存在学科网两个极值点且求的zxxk取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)答案一、选择题1、B2、D3、C4、A5、C6、D7、B8、D9、A10、B二、填空题11、12、13、14、15、16、三、解答题17、(本小题满分12份)解:(I)记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功}.由题设知故所求的概率为(Ⅱ)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220.因,,,故所求的分布为数学期望为+++=18、(本小题满分12份
7、)解:(I)如图5,在中,由余弦定理,得故由题设知,于是====在中,由正弦定理,BC=19、(本小题满分12份)解:(I)如图(a),因为四边形为矩形,所以.同理。因为∥,所以。而,因此底面ABCD。由题设知,∥。故底面ABCD。(Ⅱ)解法I如图(a),过作于H,连接.由(I)知,底面ABCD,所以底面,于是.又因为四棱柱ABCD-的所有棱长都相等,所以四边形是菱形,因此,从而,所以,于是,进而。故是二面角的平面角。不妨设AB=2。因为,所以,。在中,易知。而,于是。故。即二面角的余弦值为。解法2因为四棱柱ABCD
8、-的所有棱长都相等,所以四边形ABCD是菱形,因此。又底面ABCD,从而OB,OC,两两垂直。如图(b),以O为坐标原点,OB,OC,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系。不妨设AB=2.因为,所以,于是相关各点的坐标为:O(0,0,0),,.易知,是平面的一个法向量。设是平面的一个法向量,则即取,则,所以。设二面角的大小为,易知是锐角
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