高考数学湖南卷(理).doc

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1、2013湖南卷(理)一、选择题1.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(  )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 B解析 ∵z=i+i2=-1+i,∴z对应的点在第二象限.2.某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是(  )A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法答案 D解析 总体(100名学生)中的个体(男、女学生)有明显差异,应采用分层抽样.3.在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asinB=b,则角A等

2、于(  )A.B.C.D.答案 D解析 在△ABC中,利用正弦定理得2sinAsinB=sinB,∴sinA=.又A为锐角,∴A=.4.若变量x,y满足约束条件则x+2y的最大值是(  )A.-B.0C.D.答案 C解析 画出可行域如图.设z=x+2y,当直线y=-x+过点M时,z取最大值,所以(x+2y)max=.5.函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为(  )A.3B.2C.1D.0答案 B解析 画出两个函数f(x),g(x)的图象,由图知f(x),g(x)的图象的交点个数为2.6.已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足

3、c-a-b

4、

5、=1,则

6、c

7、的取值范围是(  )A.[-1,+1]B.[-1,+2]C.[1,+1]D.[1,+2]答案 A解析 由已知得

8、a+b

9、2=

10、a

11、2+

12、b

13、2+2a·b=2,

14、a+b

15、-1≤

16、c

17、≤

18、a+b

19、+1,∴-1≤

20、c

21、≤+1.7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于(  )A.1B.C.D.答案 C解析 由俯视图知正方体的底面水平放置,其正视图为矩形,以正方体的高为一边长,另一边长最小为1,最大为,面积范围应为[1,],不可能等于.8.在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经B

22、C,CA发射后又回到原点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于(  )A.2B.1C.D.答案 D解析 建立如图所示的坐标系,则重心G,设直线RQ方程为y-=k,则R,Q.∴直线PR:y-(1-k)=-kx可得P.设n=(-1,-1),则〈,n〉=〈,n〉,可得k=,故P.二、填空题9.在平面直角坐标系xOy中,若l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为________.答案 3解析 椭圆C的右顶点坐标为(3,0),若直线l过(3,0),则0=3-a,∴a=3.10.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为_____

23、___.答案 12解析 ∵(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx≤3(x2+y2+z2),∴a2+4b2+9c2≥(a+2b+3c)2==12.∴a2+4b2+9c2的最小值为12.11.如图,在半径为的⊙O中,弦AB,CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为________.答案 解析 在⊙O中,PA·PB=PC·PD,∴2×2=PC×1,∴PC=4,∴CD=5.∴圆心O到CD的距离为==.12.若ʃx2dx=9,则常数T的值为________.答案 3解析 ʃx2dx=x3=×T3=9.∴T3=27,∴T=3.13.执行如图所示的程序

24、框图,如果输入a=1,b=2,则输出a的值为________.答案 9解析 输入a=1,b=2,执行第一次循环a=3;第二次循环a=5;第三次循环a=7;第四次循环a=9.循环终止,输出a=9.14.设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若

25、PF1

26、+

27、PF2

28、=6a且△PF1F2的最小内角为30°,则双曲线C的离心率为________.答案 解析 不妨设

29、PF1

30、>

31、PF2

32、,则

33、PF1

34、-

35、PF2

36、=2a,又∵

37、PF1

38、+

39、PF2

40、=6a,∴

41、PF1

42、=4a,

43、PF2

44、=2a.又在△PF1F2中,∠PF1F2=30°,∴∠PF2F1=90°,∴

45、

46、F1F2

47、=2a,∴双曲线C的离心率e==.15.设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(-1)nan-,n∈N*,则:(1)a3=________;(2)S1+S2+…+S100=________.答案 (1)- (2)解析 (1)∵Sn=(-1)nan-.n=3时,a1+a2+a3=-a3-①n=4时,a1+a2+a3+a4=a4-,∴a1+a2+a3=-.②由①②知a3=-.(2)n>1时,Sn-1=(-1)n-1an-1-n-1,∴an=(-1)

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