对称性在初中数学中的运用.doc

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1、对称性在初中数学中的运用“对称”不仅是中学数学内容中一个重要的概念，更是一种重要的思想方法。在“对称”中往往体现出数学的“美”来。对称性问题是一类用运动的观点、运动的思想去研究图形位置变化或图形性质的数学问题，有时在代数中若能运用，就更会有独到的效果。这类数学问题常常要运用“动”的思想去观察、分析、推理、猜想，在运动中寻找不变的量，从而发现规律，达到解决问题的目的。这类问题一般有两类：一类是根据条件中的图形运动，研究图形在运动过程中或经过运动后的位置变化与相关性质；另一类是条件中无图形的运动，要利用运动的思想研究其有关性质。在初中数学中，图形的运

2、动的基本形式有三种：（1）平移（包括点的移动）；（2）图形的翻折；（3）图形的旋转。无论哪种运动都有一个极为重要的基本结论：任何图形经过运动后，其形状、大小都保持不变，即对应边、对应角都相等，变化的只是图形的位置，这在解题中是潜在的重要前提。下面通过几个例题进行简单的分析说明“对称性”在解题中的运用。一、初中数学解题中图形的对称性的灵活运用。0例1、如图1：ABC中，AB=AC,BAC=120，BD平分ABC，且与AC相交于点D。求：AD:DC的值；ADBC（图1）分析：读完题目，要抓住BD平分BAC的条件，将ABD翻折过来，点A落在B

3、C边的点A处（如图2），这样AD与AD重合，则AD=AD，问111题就归纳为在ADC中求AD：DC的问题。11ADBACA11解法一：如图2在BC边上截取一点A，使BA=BA，11∵BD平分BAC，即∠ABD=∠DBA，且BD=BD1∴ABD≌ABD10∴AD=AD，∠BAD=∠BAC=1201100∴∠DAC=180∠BAD=60，11又∵AB=AC00∴∠C=∠B=30,则∠ADC=90103在RtADC中：AD：DC=tgC=tg30=,1133∴AD:DC=3FADBCE（如图3）解法二：如图3过D作DE⊥BC于E，DF⊥BA

4、于F；∵BD平分BAC，∴DE=DF，000同解法一，∠BAC=120，∠C=∠B=30得到∠FAD=60，01在RtDEC中DE=DCsinC=DCsin30=DC，203在RtDAF中DF=ADsin∠FAD=ADsin60=AD2133∴DC=AD,∴AD:DC=223[说明]无论是解法一中作辅助线的作用在于把ABD翻折过来，还是解法二种的由对称性导出的角平分线的性质的运用，都是应用了图形的对称性的翻折的性质解决问题。方法简单便于联想，当然还有其它方法，请读者自己完成。例2：设x的一个二次函数的图象过A（0，1），B（1，3），C（

5、-1，1）三点，求这个二次函数的解析式。思路如果不仔细观察三个点的坐标特点，设一般式求解，计算就很复杂，但通过观察掌握了三个点的特点，利用点的“对称”性，则达到事半功倍的效果。解A（0，1）、C（-1，1）两点是抛物线上的两个关于对称轴对称的点，1所以该抛物线对称轴为x=，结合A（0，1）是抛物线y轴的交点，即函数的2一般表达式中的常数项应为1，据此可设所求函数表达式为12aY=a（x+）+1-24将B=（1，3）代入求得a=1所求函数解析式为y=x2+x+1例3：⊙O的内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD于P，又OE⊥AB于E，求证CD=2OE

6、思路如何将看似联系不紧密的OE、CD拉到一起？CA'或者说如何构造2AE？这里应用“对称”效果就很好。证明如图，以O为中心作A关于O的对称点A′，则AA′为直径，连A′B、A′C，则A′C⊥AC，又BD⊥DAC，故A′C∥BD.所以CD=A′B.另易知A′B=2OE，从而POCD=2OE。E22例4：△ABC中，∠C=2∠B，求证：AB=AC+AC·BC。AB思路待证式中出现平方，联想到直角三角形，作AD⊥BC，有勾股定理推知，只要证BD2=CD2+AC·BC，移项后整理知，只要证BD-CD=AC。证明如图，作AD⊥BC，以D为中心作C关于D的对

7、称点C′，则有AC=AC′,故∠C=∠AC′C，又∠C=2A∠B，∠AC′C=∠B+∠BAC′，于是∠B=∠BAC′，故BC′=AC′=AC此时BD-CD=BD-C′D=BC′=ACBC（BD-CD）=AC·BC（BD+CD）（BD-CD）=AC·BCBD2=CD2+AC·BCBC'DCAD2+BD2=AD2+CD2+AC·BCAB2=AC2+AC·BC命题得证。例5：已知锐角∠AOB，P点位于角的内部，试在角的两边上各确定一点M、N，使△PMN的周长最小。思路将三条线围成的封闭折线打开，结合两点间P'以线段最短的性质加以研究。A解如图，作P点关

8、于AO的对称点P′；再作P点M关于BO的对称点P〞，由对称性易知：PM=P’M，PN=P”N，P此时PM+MN+PN=P’M+MN+P”