对称性在初中数学中的运用

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1、对穂档在初中数修中的运用上海市黄浦学校王丽琴王国文“对称”不仅是中学数学内容中一个重要的概念，更是一种重耍的思想方法。在“对称”中往往体现出数学的“美”来。对称性问题是一类用运动的观点、运动的思想去研究图形位置变化或图形性质的数学问题，有时在代数屮若能运用，就更会有独到的效果。这类数学问题常常要运用“动”的思想去观察、分析、推理、猜想，在运动中寻找不变的量，从而发现规律，达到解决问题的目的。这类问题一般有两类：一类是根据条件屮的图形运动，研究图形在运动过程中或经过运动后的位置变化与相关性质；另一类是条件中无图形的运动，要利用运动的思想研究其有关性质。

2、在初中数学中，图形的运动的基本形式冇三种：（1）平移（包括点的移动）;（2）图形的翻折；（3）图形的旋转。无论哪种运动都有一个极为重要的基木结论：任何图形经过运动后，英形状、大小都保持不变，即对应边、对应角都相等,变化的只是图形的位置，这在解题中是潜在的重要前提。下面通过儿个例题进行简单的分析说明“对称性”在解题中的运用。一、初中数学解题中图形的对称性的灵活运用。例］、如图1：AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,BD平分ZABC,且与AC相交于点求：AD:DC的值;（图1）分析：读完题目，要抓住BD平分ZBAC的条件，将AABD翻折过来，点A

3、落在BC边的点£处（如图2）,这样AD与重合，则AD=A1D,问解法一:在BC边上截取一点刍，使BA^BA,•・・BD平分ZBAC,即ZABD二ZDBA，且BD二BD・•・△ABD竺AABD・・・AD=AD,ZBA,D=ZBAC=120°AZDA,C=180°-ZBA,D=60°,又TAB二ACAZC=ZB=30°,则ZA,DC=90°在RtA£DC中：A,D：DC=tgC=tg30°=—,AAD:DC=—过D作DE丄BC于E,DF丄BA于F；・・・BD平分ZBAC,ADE=DF,同解法一，ZBAC=120°,ZC=ZB=30°得到ZFAD=60°,

4、在RtADEC中DE二DCsinC二DCsin30°=丄DC,2在RtADAE屮DE-ADsinZEAD=ADsin60°AD•冷DC哼AD,AAD:DC=T［说明］无论是解法一中作辅助线的作用在于把AABD翻折过来，还是解法二种的由对称性导出的角平分线的性质的运用，都是应用了图形的对称性的翻折的性质解决问题。方法简单便于联想，当然还有其它方法，请读者口己完成。例2：设x的一个二次函数的图彖过A(0,1),B(1,3),C(-1,1)三点，求这个二次函数的解析式。思路如果不仔细观察三个点的坐标特点，设一般式求解，计算就很复杂,但通过观察掌握了三个点的

5、特点，利用点的“对称”性，则达到事半功倍的效果。解A(0,1)、C(-1,1)两点是抛物线上的两个关于对称轴对称的点，所以该抛物线对称轴为x=

6、，结合A(0,1)是抛物线y轴的交点，即函数的一般表达式中的常数项应为1,据此可设所求函数表达式为1、°aY=a(x+㊁)2+l-才将B二(1,3)代入求得a=l所求函数解析式为y=x2+x+l例3：OO的内接四边形ABCD的对角线AC丄BD于P,又OE丄AB于E,求证CD=2OE思路如何将看似联系不紧密的OE、CD拉到一起？或者说如何构造2AE?这里应用“对称”效果就很好。证明如图，以0为中心作A关于0的对

7、称点"，则AA'为直径，连A'B、A'C,则NC丄AC,又BD丄AC,故A'C〃BD・所以CD二A'B.另易知A'B=20E,从而CD=20Eo例4：AABC中,ZC=2ZB,求证：AB2=AC2+AC-BCO思路待证式中出现平方，联想到直角三角形，作AD丄BC,有勾股定理推知，只要证BD?二CD’+AC•BC,移项后整理知，只要证BD-CD二AC。证明如图，作AD丄BC,以D为屮心作C关于D的对称点C'，则有AC=AC‘，故ZC二ZAC'C,又ZC=2ZB,ZAC'C=ZB+ZBAC,,于是ZB=ZBAC,,故BC‘二AC'=AC此时BD-CD=B

8、D-C,D=BC,=ACBC(BD-CD)=AC•BC(BD+CD)(BD-CD)=AC•BCBD2=CD2+AC•BCAD2+BD2=AD2+CD2+AC•BCAB2=AC2+AC•BC命题得证。例5：已知锐角ZAOB,P点位于角的内部，试在角的两边上各确定一点M、N,使APNIN的周长最小。P*AP”思路将三条线围成的封闭折线打开，结合两点间以线段最短的性质加以研究。解如图，作P点关于A0的对称点I"；再作P点关于BO的对称点P",由对称性易知：PM=P,M,PN=PVN,此时PM+MN+PN二P，M+MN+P，N。欲使周长最小，M、N应在PPL

9、L,取M、N点为P，P"、与AO与B0的交点，此时APNIN的周长最小。例5：己知平行四边形ABCD中，BC