函数单调性讲义提高.doc

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1、函数单调性1单调性定义（1）单调性定义：设函数的定义域为A，区间。如果对于任意，I，当时，都有，那么就说在区间I上是单调减函数．区间I叫做的单调减区间；如果对于任意，I，当时，都有，那么就说在区间I上是单调增函数．区间I叫做的单调增区间；单调增区间或单调减区间统称为单调区间。（2）函数的单调性通常也可以以下列形式表达：单调递增单调递减例1定义在上的函数对任意两个不相等实数，总有成立，则必有（）A、函数是先增加后减少B、函数是先减少后增加C、在上是增函数D、在上是减函数（3）增函数、减函数的定义及图形表示xy0x1x2f(x1)f(x2)xy0x1x2;f(x1)f(x2)增函数:减函数:

2、注意：对于函数单调性定义的理解，要注意以下两点①函数的单调性是对某一个区间而言的．f(x)在区间A与B上都是增(或减)函数，在A∪B上不一定单调．②单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替．③在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域7xy12345-2-4-1-3-5123－1－2－3O例1下图是定义在区间[-5，5]上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？例2已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（）A．至少有一实根B．至多有一实根

3、C．没有实根D．必有唯一的实根例3已知函数是定义在上的增函数,且,求的取值范围.例4已知函数f(x)＝x－1，若f(a＋1)

4、∵x2－x1＞0，＞0，∴当时，，那么．7当时，，那么．故在区间上是增函数，在区间上是减函数．例3已知函数用单调性定义证明：在上为增函数；解设，所以在上为增函数.例4证明函数f(x)＝2x－在(－∞，0)上是增函数．设x1，x2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x10，因此f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，y

5、>0都有f＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并加以证明；(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．解：(1)∵当x>0，y>0时，f＝f(x)－f(y)，∴令x＝y>0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.(2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x1>0.∴>1，∴f>0.∴f(x2)>f(x1)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数．7∴f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(16)，∵f(4)＝2，由f＝

6、f(x)－f(y)，知f＝f(16)－f(4)，∴f(16)＝2f(4)＝4，∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]．例6定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0

7、x1)·f(x2－x1)．由于x2－x1>0，所以00时，01>0.又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x1∈R，均有f(x1)>0.所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0