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1、函数单调性Ⅰ基础巩固一、用定义法求函数单调性：取值作差化积定号.（这是最基本的思路.）1、方法与步骤：证明格式：①取任意两个数属于定义域D，且令（反之亦可）；②③并由此说明函数的增减性；2、单调区间的书写要求若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是若函数在区间的端点处没有定义,则必须写成开区间.另外,若函数在其定义内的两个区间、上都是单调增（减）函数，一般不能认简单地认为在区间上是增（减）函数.例如在区间上是减函数，在区间上也是减函数，但不能说它在定义域上是减函数.事实上，若取，有。例1：用定义法证
2、明函数上是减函数。证明：原函数可变形为，设，则上是减函数。例、已知函数f(x)=ax+(a>1).(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.体验思路：定义法来证明函数的单调性；第二问让我们温习了反证法的解题过程.体验过程：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0,>1且>0,∴>0,又x1+1>0,x2+1>0∴>0,于是f(x2)－f(x1)=+>0∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.(2）设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则且由0＜＜1得0＜－＜
3、1,即＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.练习1：用定义法证明函数练习2、证明函数在其定义域内是减函数。例2、用定义方法证明在定义域内是单调递增函数。证明：设，,在定义域R内为减函数。练习3、二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k≠0).解当k＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=(k≠0).解当k＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数
4、y=ax2+bx+c(a≠0).解当a＞1时(－∞，－)是这个函数的单调减区间，(－，+∞)是它的单调增区间；当a＜1时(－∞，－)是这个函数的单调增区间，(－，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a＞0，a≠1).解当a＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=logax(a＞0，a≠1).解当a＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、用特殊方法判断函数单调性。（1）增（减）函数图像上任意两
5、点连续的斜率（2）若在区间D上位增（减）函数，且，则（3）复合函数的单调性为‘同增异减’（4）若为增函数，则为减函数，为增函数，为减函数（5）增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。［例］若与在上都是减函数，对函数的单调性描述正确的是()A.在上是增函数B.在上是增函数C.在上是减函数D.在上是增函数，在上是减函数解析:由函数在上是减函数，得＜0，又函数在上是减函数，得＜0，于是，函数，在上都是减函数，∴函数在上是减函数，故选C．［例］求函数的最大值．解析：由，知函数在其定义域[3，
6、+¥)上是减函数． 所以的最大值是．【技巧提示】 显然由使得问题简单化，当然函数定义域是必须考虑的又例 已知，则函数的值域是 .解析：∵ 在上单调递增，∴ 函数的值域是．即 ．再例求函数的值域．解析：∵ 在定义域上是增函数， ∴ 函数的值域为 （6）互为反函数的两个函数有相同的单调性。（7）奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；（8）被称为对号函数．对号函数是奇函数，其图象是双曲线．函数在上单调递增；在上是单调递减。［例］试判断函数在上的单调性并给出证明.解析：设，由于故当时，此时函
7、数在上增函数，同理可证函数在上为减函数.又例：求函数的最小值．解析：由,,用单调性的定义法易证 在上是增函数，易求函数的最小值为为所求．再例：已知函数.若对于,＞0恒成立，试求的取值范围.解析：由＝.当＞0时，显然有＞0在恒成立；≤0时，由知其为增函数，只需的最小值＝3＋＞0,解之，＞－3.∴当＞－3时，＞0在上恒成立.Ⅱ、题型与方法归纳题型一：基本函数的单调性（二次函数，指数函数，对数函数，反比例函数，三角函数）方法：图形法例、已知函数，求函数的单调递增区间。解：函数的对称轴是，函数图像如有图所示函数的单调递增区间是练习5：指出
8、函数的单调区间题型二：复合函数单调性：（同增异减）复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x).其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;(2)确定函数的定义域；
