函数单调性讲义提高

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1、函数单调性1单调性定义（1）单调性定义：设函数的定义域为A,区间/eAo如果対于任意石，x2e/,当x./（吃），那么就说/（兀）在区间/上是单调减函数.区间/叫做/（兀）的单调减区间；如果对于任意不,g,当易。2吋，都有/3）

2、、函数/（x）是先减少后增加C、/（兀）在/?上是增函数（3）增两数、减函数的定义及图形表示D、/（劝在/?上是减函数增函数：Xjf（xl）/（%!）>f（x2）注意：对于函数单调性定义的理解，要注意以下两点①函数的单调性是对某一个区间而言的・f（x）在区间A与B上都是增（或减）函数，在AUB±不一定单调.②单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的X

3、,X2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替.③在研究函数的单调性时，应先确泄函数的定义域例1下图是定义在区间［-5,5］上的函数y=/(x),根据图象说出函

4、数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数述是减函数?例2已知函数几丫)在区间［Gb］上单调，且血妙)<0,则方程夬兀)=0在区间⑷b］fy(A.至少有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有唯一的实根例3已知函数/(劝是定义在［一1」］上的增函数且/(x-l)0a+l>0或v10—2a>0、a+1>10—2da+<0或v10—2a<04+1>10—2g/•a<~1或3

5、.2函数单调性的证明方法(1)定义法：q任取x1,x2GDr且x10,

6、Jl-Xj2AO,/•当x2>x{>0时，x,+x2>0,那么/（x,）>/（x2）.当0＞兀2＞兀1时，^!+＜0,那么/（石）＜/（兀2）.故/（x）=V^7在区间［-1,0］上是增函数，在区间［o,i］上是减函数.例3已知函数f（x）=—用单调性定义证明：几兀）在（-00,1）上为增函数；S-1）「解设西5＜1，/（»/（小牛一吧丁丐）“（西-1）（忑-1）所以/（兀）在（-00,1）±为增函数.例4证明函数夬兀）=2兀一£在（一8,0）上是增函数.设X1,兀2是区间（・00,0）上的任意两个自变量的值，且X

7、＜X2.则几可）=2X1--^-,几七）

8、=2七-7,心X2炉）-尢2）=@「£）-@2-£）=2（Q*2）+g・£二（"7）（2+^）由于兀02＜0,所以兀1・兀2＜0,2+」7＞0,兀I兀2因此金1）・心2）＜0,即/（兀1）勺任2）,故刃力在（・8,0）上是增函数・例5函数几r）的定义域为（0,+8）,且对一切尤＞0,）＞o都有剧=/（兀）一爪），当兀＞1时，有yw＞o.（1）求夬1）的值;（2）判断y（兀）的单调性并加以证明;（3）若人4）=2,求尢）在［1,⑹上的值域.解：（1）・・・当兀＞0,y＞0B寸，点）二沧）・Av）,・•・令"护0，则用）二沧）・7U）=0.⑵设兀I,兀2丘（0

9、,+8）,且兀1＜尤2,•••兀2>兀1>0.・•.晋>1,・/(^)>o.・・・yu2)gi),即yw在(o,+8)上是增函数.⑶由⑵知几丫)在［1,16］上是增函数.•••./Wmin二夬1)=0，A-V)nm=A16),V^4)=2,由=fix)・血)，知.(学)=/(16)・./(4),・・談16)=岑⑷=4…・・问在［1,16］上的值域为［0,4］・例6定义在R上的函数人兀)满足：对任意实数m,77,总有Jg+ii)=伸n)J(町,11当x>0时，0

10、+n)-fi/nj-fiji)中，令tn=1,n=0,得用)=/(