函数单调性与复合函数讲义

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1、11徐柳18717127950函数单调性与复合函数讲义单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2)，那么就说f(x)在

2、这个区间上是减函数．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．yxo③对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减．1111徐柳18717127950（2）打“√”函数的图象与性质分别在、上为增函数，分别在、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数的定义域为，如果

3、存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最大值，记作．②一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最小值，记作．例题：1.证明函数在（1，+∞）上为减函数．2.定义在（－1，1）上的函数是减函数，且满足：，求实数的取值范围。函数奇偶性、单调性的综合应用[例4]（普宁市城东中学09）已知奇函数是定义在上的减函数，若1111徐柳18717127950，求实数的取值范围。复合函数的单调性1、定义：设y=f(u),u=g(x

4、),当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)2、复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：函数单调性增增减减增减增减增减减增例题：例1、已知，求的单调性。例2、已知，求函数的单调性。2、已知，如果，那么（）A.在区间（-1，0）上是减函数B.在区间（0，1）上是减函数C.在

5、区间（-2，0）上是增函数D.在区间（0，2）上是增函数1111徐柳18717127950函数单调性习题一．填空题1.函数的单调递增区间是__________________.2.函数的单调递减区间是__________________.3.函数在是增函数，那么的取值范围是__________.4.函数在上是增函数，在上是减函数，那么在上是_________.5.函数在上是增函数，（1）若在上是偶函数，那么在上是_________；（2）若在上是奇函数，那么在上是_________.6.设奇函数的定义域为，若当时，

6、的图象如右图,则不等式的解是________.7.已知是上增函数，那么的取值范围是______.8.函数的递增区间是______________.9.若为奇函数，且在上是减函数，又，则的解集为____________.10.定义在上的函数在上是减函数，且图象的对称轴是，那么，那么_________.(填)1111徐柳187171279501.已知函数在区间是减函数，则的取值范围是____________.2.设是上的减函数，则的单调递减区间为.一．选择题3.下列函数在上为增函数的是-----------------

7、-------------------------------（）A.B.C.D.4.定义在上的偶函数在是增函数，则不等式等价于（）A.B.C.D.或5.如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是----------------------------------------------------------------------------------------------()A.增函数且最小值是B.增函数且最大值是C.减函数且最大值是D.减函数且最小值是6.函数是----------------

8、----------------------------------------------------------（）A.是偶函数，且在区间上单调递增B.是偶函数，且在区间上单调递减C.是奇函数，且在区间上单调递增D.是奇函数，且在区间上单调递减二．解答题7.试讨论函数在区间上的单调性．8.已知函数（1）用单调性定义证明：在上为增函数；（2）作出函数的大致