实际问题与二元一次方程组题型归纳.doc

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1、实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的基本思想　　列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.知识点二：列二元一次方程组解应用题的一般步骤　　利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：　　1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；　　3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等

2、量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.　　要点诠释：　　(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；　　(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；　　(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.　(4)列方程组解应用题应注意的问题　①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混

3、淆；⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验。知识点三：列方程组解应用题中常用的基本等量关系　　类型一：列二元一次方程组解决——行程问题　(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；　；；　(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。　　(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；　　　

4、　　　　②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；　　　　　　　③顺水速度－逆水速度＝2×水速。　　注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。例1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？　　思路点拨：画直线型示意图理解题意：　　　　　(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程.　　(2)有两个等量关系：　　　①相向而行：汽车行驶小时的路程

5、＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米;　　　②同向而行：汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.　　解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.　　　　根据题意，列方程组　　　　解这个方程组，得:　　　　.　　答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.　　总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。　　【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？【变式2】两地相距280

6、千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。类型二：列二元一次方程组解决——工程问题工程问题：工作效率×工作时间=工作量.　　例2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？　　思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两

7、组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.　　解：(1)设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：　　　　　　　　　　解得　　　　　答：甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元。　　　(2)单独请甲组做，需付款300×12＝