数值分析第4章答案.doc

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1、第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：(1)J：/(x皿=+A)/(0)+A/(〃)；(2)J：/(x)d兀=A_J(-/7)+4/(0)+⑶£f(x)dx-[/(-l)+2/(x,)+3/(x2)]/3;(4)『fgdx-M/(0)+/(/?)]/2+ah2[f(0)—/(A)]；解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求

2、解。(1)若(1)J：/(Qdx-A.JX-A)+A)/(0)+令fM=1,贝!l2h=A_}+几+A令/(x)=X,则0=—A_/+A^h4f(x)=x2,则=胪A_i+胪人从而解得=-h勺3A,=—h33令/(x)=x3,则jff(x)dx=jx'dx=0AI/(-ft)+v(o)+A/W=o故IjZx=+4,7(0)+AJ(h)成立。令/⑴=兀4,则J：/(兀皿=f：x4dx=

3、h5J-hJ-h5a_1/(-/2)+4/(o)+a/W=

4、^5故此时，fALfZxHA_,/(-/?)+4/(0)+AJ(

5、h)故fy^y/x=A_}f(-h)+A)/(0)+A/(/o具有3次代数精度。⑵若Cf(x)dx«A_J(-h)+4/(0)+AJ(h)J—2力令f(x)=1,则4/z=Aj+血+人令/(x)=x,贝!I0=-A_[/?+a力令/(x)=x2,则f胪=/#九+/2訓从而解得令/⑴=川，则r2hf2AQ_Jx}dx=_2hX'dx=04』(一册+人/(0)+4/(/0=0故f：/g=A-JC-Zz)+4/(0)+A.fih)成立o令f(x)=X4,则九/(—/?)+A/(0)+A/的=¥故此时，r2hI

6、oyf{x)dxA_J(-h)+4/(0)+A/WJ—2〃因此，Zf{x)dx=九/(-/?)+4/(0)+A/(/oJ—2〃具有3次代数精度。(1)若J')f(x)dx-[/(-I)+2f(x})+3/(x2)]/3令/(x)=1,则[丿心皿=2=[/(—1)+2/(召)+3/(花)]/3令/(%)=兀，贝!I0=—1+2Xj+3x>令f(x)=x2,则从而解得x,=0.6899%.=0.1266x=-0.2899i或=0.5266ArjIf(x)dx=j

7、jc'dx=0[于(_1)+2/(旺)+3/(兀

8、2)]/3工0故二[/(—1)+2/(码)+3/也)]/3不成立。因此，原求积公式具有2次代数精度。(2)若J：/(乂皿=/2[/(0)+/(//)]/2+亦[广(0)—fVi)]令/(x)=]，则^f(x)dx=h,M/(0)+/")]/2+ah2[f(O)=h令/(x)=x,则M/(0)+/(/?)]/2+ah2[f(O)一A/?)]=£h2令f(x)=X2,则J：/(X如J：业=衲3M/(0)+/(/I)]/2+创2[广(0)-/(/?)]=*h3-2ah2故有-h3=-h3-2ah2321a=—12J

9、：/Wr=J；込"”町(0)+./")]/2+右h2[f)一/©)]中4-存冷力4令/(X)=X4,则£7(x)jx=J4^=1/?4/(0)+/⑹]/2+占h2[f)一/©)]=新一”：沪12Z3o故此时，J：f^dx丰町(0)+/⑷]/2+右h2[f)一fh)l因此,£f(x)dx«/?[/(0)+/⑴]/2+右h2[f)一fh)]具有3次代数精度。1.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：rl(1一厂)2(1)JI丿如=10;oX(2)fyfxdx,n=4;£(3)jJ^4-si

10、n2(pd(pyn=6;X4+r1解:(1)«=&d=0,b=1,力=6，/(兀)=o复化梯形公式为h7兀=厅MS)+2工/(%,)+仙]=0.111402k=复化辛普森公式为L77S严匸[/(G)+4工f(xJ+2工/(%,)+f(b)]=0.111576A=0'气“1(2)n=10,a=(),b=Ji=复化梯形公式为L9G=亍/⑷+2》/(x,)+/(b)]=1.391482A=1复化辛普森公式为方99焉=2【/(a)+4工/(.「)+2工/(X,)+/0)]=1.454716g)化A=l(3)/?=

11、4,a=,b-9,h=2,f(x)=長,复化梯形公式为h3坊=-[/(«)+2工/(檢)+/(b)]=17.227742e复化辛普森公式为L3354=~[f(a)+4工f(x+L)+2工f(xk)+f(b)]=17.32222(4)/7=6,20"=2、h=^,/(x)=J4-sii?063&复化梯形公式为h5A=刃/⑷+2工fg+/(b)]=1.03562复化辛普森公式为h55Ss=貝/(d)+