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1、第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式屮的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：⑴f⑽lx=A)/(o)+A/W；c2hf(x)dx«A_,/(-/2)+4/(0)+⑻；f(x)dx^[/(-l)+2/(%,)+3/(x2)]/3;(4)^M/(0)+/(州/2+M2[/(0)-/(/z)l；解••求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。⑴若d)f:/⑺也。人,/(—幻+A)/(o)+A/(^)令，(x)=i，则2/z=A_,+/^+A,令/⑴=x
2、,贝ij0=—y4_,/z+i4,/l令,(又)=X2,则2-/?=/22A,+/72A3■'从而解得A,=-h-3A=—hh3f(,x)dx=f%3Jx=0A,/(-//)+4/(0)+A/(/z)=0故Ef⑼dx=〜，(；)+4/(0)+A，⑻成立令/O)=X4,则久/(-/2)+名/⑼+4/(幻=
3、/25故此时，J二f{x)dxAJ(-/7)+AJ(o)+A/⑻故J:f{x)dx-a_j(-/2)+4/(0)+v(/2)具有3次代数精度。(2)C2h若£2/，/(xXr=?V(—/2)+a/(o)+v㈨令/(x)=l，则4/z=A_,+/^+A,令/(X)=x，则O=-A_1/z+A1/
4、7令/U)=x2，则]-^-h3=h2A_^h2A}从而解得4=4aA=-h3A}=-h—13令/Cr)=x3,则0(袖0办：0a_j(-a)+4/(o)+v(")=oc2h故Lf(x)dx=A_1/(-/i)+A)/(0)+A/W成立。J-2h令/(X)=x4，则故此时，x,=-0.2899=0.52660.68990.1266令/（幻=分，则fx}dx^A_,/(-/z)+4/(0)+A/⑹f(x)dx^AV(-A)+4/(0)+4/(/7)J—2/i具有3次代数精度。(3)若£f(x)dxM.A-1)+2/(%,)+3/(x2)]/3令/(x)=l，则£i/(x^v=2=[/(-1)+
5、2/(x1)+3/(x2)]/3令/⑴=%，贝ij0=—1+2义
6、+3x,令,(/)=x2，则2=1+2%,2+从而解得l/(-l)+2/(x1)+3/(%2)j/3^0故£/«^=[/(-1)+2/(;)+3/(%2)]/3不成立。因此，原求积公式具有2次代数精度。(4)若f(x)dx-M/(0)+/(/川/2+ah2[f )-/(/z)]令/(x)=l，则M/(0)+/(/?)]/2+ah2[fQ)-f(h)]=h令/O)=x，贝
7、JJ:f{x)dx=^xclx=~^2M/(0)+/(/I)]/2+ah2[f )-f(h)]=^h2令/U)=x2,则^fMdx=\2dx=-h34/
8、(0)+/(A)]/2+ah2[f )-/(/i)]=^/?-2ah2故有Lh3=-h3-2ah2321a=—12令/U)=x3，则J*:fMdx=x3dv=丄A4/i[’(0)+，㈨]/2+吉AV(0)-fh)]=^h4~h4=^h4令/U)=X4,则J*:f(x)dx=x4dx=—h54/(0)+，㈨]/2+去AV’(0)-fh)]=1A5一士A5=士A512236故此时，/⑴也矣4/(0)+/(/2)j/2+/rlZ(O)-r(/t)J,因此，£>(义)也4[/0))+/(幻]/2++/72[/(0)-/(/0]具有3次代数精度。1.分别用梯形公式和辛普森公式II•算下列积分：1(
9、1-^成z?=10;⑷JJ#-sin2^6/^9,n=6;X4+x2解：(1>=8,tz=0,/?=1,/?=
10、,/(x)ofi化梯形公式为U7T8=;[./•⑻+/(%,)+./W]=0.111402X=1复化辛普森公式为Ij77=7[/(“)+42>(久+丄)+2乙/(义)+/(/7)]=0.11157Ok=02々=11(1-e^)2(2)/7=105«=0,b=lji=—，/(x)=-10x复化梯形公式为U9Tw=-[/(6z)+2^/(%a)+/⑻1=1.39148Lk=lfi化辛普森公式为h995,o=7[/⑻+4刃/U；+1)+2X/(^)+/0)1=1.45471A=()2A=
11、1(3)n=4，a=1，&=9，/z=2，/(x)=Vx,复化梯形公式为h3T4=-lf(a)+2X/(A)+/0)1=17.227742*=1fi化辛普森公式为fj337[，⑻+/U+丄)+/⑹+綱=17.322220k=02人'=1(4)/1=6，“=0，/?=^,/i=^,/(x)=y)4-sm2(p636复化梯形公式为L5T,=了[/⑻+2J；/(a;.)+f(b)]=1.035622k=
