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1、数值分析第七章1第七章非线性方程求根一、重点内容提要（一）问题简介求单变量函数方程f(x)0(7.1)的根是指求x*（实数或复数），使得f(x*)0.称x*为方程(7.1)的根,也称x*为函数f(x)的零点.若f(x)可以分解为f(x)(xx*)mg(x)其中m为正整数,g(x)满足g(x)0,则x*是方程(7.1)的根.当m=1时,称x*为单根;当m>1时,称x*为m重根.若g(x)充分光滑,x*是方程(7.1)的m重根,则有f(x*)f'(x*)...f(m1)(x*)0,f(m)(x*)0若f(x)在[a,b]上连续且f(a)f(b)0,则方程(7.1)在
2、(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得.(二)方程求根的几种常用方法1.二分法设f(x)在[a,b]上连续,f(a)f(b)0,则f(x)0在(a,b)内有根x*.再设f(x)0在x01b0)(a,b)内仅有一个根.令a0a,b0b(a00则,计算2和f(x0).若f(x0)x*x,结束计算;若f(a0)f(x0)0,则令a1x0,b1b,得新的有根区间[a1,b1];若f(a0)f(x0)0,则令a1a0,b1x0,得新的有根区间ba1(ba0)x1(ab)11201211[a1,b1].[
3、a0,b0][a1,b1],.再令计算f(x1),同上法得出新的有根区间[a2,b2],如此反复进行,可得一有根区间套...[an,bn][an1,bn1]...[a0,b0]数值分析第七章2anx*bn,n0,1,2,...,bnan1(bn1a1)...122n(b0a0)且.lim(bnan)0,limxnlim1bn)x*(an故nnn2xn1(anbn)0的近似根,且有误差估计因此,2可作为f(x)
4、xnx*
5、1n1(ba)(7.2)22.迭代法将方程式(7.1)等价变形为x(x)(7.3)若要求x*满足f(x*)0则x*(x*);反之亦然.称x*为函
6、数(x)的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求(x)的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为xk1(xk),k0,1,2...(7.4)函数(x)称为迭代函数.如果对任意xk1(xk),k0,1,2...,由式(7.4)产生的序列xklimxx*有极限kk则称不动点迭代法(7.4)收敛.定理7.1(不动点存在性定理)设(x)C[a,b]满足以下两个条件:1.对任意x[a,b]有a(x)b;2.存在正常数L1,使对任意x,y[a,b],都有
7、(x)(y)
8、
9、xy
10、(7.5)则(x)在[a,b]上存在惟一的不动点x*.定理7.2(不动点迭
11、代法的全局收敛性定理)设(x)C[a,b]满足定理7.1中的两个条件,则对任意x0[a,b],由(7.4)式得到的迭代序列xk收敛.到(x)的不动点,并有误差估计式数值分析第七章3
12、xkL
13、xkxk1
14、x*
15、L(7.6)1
16、xkLk
17、xkxk1
18、x*
19、L(7.7)和1定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)设x*为(x)的不动点,'(x)在x*的某个邻域连续,且
20、'(x)
21、1,则迭代法(7.4)局部收敛.收敛阶的概念设迭代过程(7.4)收敛于方程x(x)的根x*,如果迭代误差ekxkx*当k时成产下列渐近关系式ek1C(常数C0)ek(7.8)则称该迭代过程是
22、p阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛.定理7.4(收敛阶定理)对于迭代过程(7.4),如果(K)(x)在所求根x*的邻近连续,并且'(x*)''(x*)...(p1)(x*)0(p)(x*)0(7.9)则该迭代过程在点x*的邻近是收敛的,并有limekp11(p)(x*)kekp!(7.10)斯蒂芬森(Steffensen)迭代法当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为yk(xk),zk(yk)xk1(ykxk)2xk2ykxkzkk0,1,2,...(7.11)数
23、值分析第七章4此法也可写成如下不动点迭代式xk1(xk),k0,1,2,...(x)((x)x)2x(x)x((x))2(7.12)定理7.5(斯蒂芬森迭代收敛定理)设x*为式(7.12)中(x)的不动点,则x*是(x)的不动点;设''(x)存在,'(x*)1,则x*是(x)的不动点,则斯蒂芬森迭代法(7.11)是2阶收敛的.3.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为xk1xkf(xk),k0,1,2,...其迭代函数为f'(xk)(7.13)(x)xf(x)f'(x)牛顿迭代法的收敛速度当f(x*)0,f'(x*)0,f''(x*)0时,容
24、易证f''(x*)0明,
