常微分方程Ch2.1-2.ppt

《常微分方程Ch2.1-2.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、求下列方程的解课前练习1.人口预测模型马尔萨斯（Malthus,1766-1834）是英国的一名神父，也是著名的人口学家，他在调查英国一百多年以来的人口统计数据的基础上，假设人口增长率是常数，并由此建立了著名的人口指数增长模型。再论人口模型解得N0N(t)0t注：当人口总数不大时，生存空间、资源等极其充裕，人口总数指数地增长是可能。但随着时间的推移人口可是无限增长显然是不合理的。这称为Logistic模型。荷兰生物学家Verhulst引入人口常数Nm(即环境最大容纳量)表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数，并假设净相对增长率为r(1-N(t)/Nm)，即

2、净相对增长率随着N(t)的增大而减少，当N(t)Nm时，净增长率0对应初值N(t0)=N0的解为NmN(t)0tt0再论人口模型在研究江河水质变化情况的过程中，降解系数是一个重要的指标。通常认为，水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等，可使水中污染物的浓度逐渐降低。而反映江河自然净化能力的指标就称为降解系数。2.污染物降解模型降解模型以长江为例，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，据检测，主要污染物氨氮的降解系数通常介于0.1-0.5(单位:1/

3、天)之间。根据《长江年鉴》，2005年9月长江中游两个观测点氨氮浓度的测量数据如下：湖南岳阳城陵矶0.41，江西九江河西水厂0.06已知从湖南岳阳城陵矶到江西九江河西水厂的长江河段全长500km，该河段长江水的平均流速为0.6m/s。试求：(1)氨氮浓度随时间变化所满足的微分方程；(2)研究该河段氨氮浓度随时间变化的规律，并确定该河段氨氮的降解系数；(3)如果氨氮降解系数的自然值是0.3，则你计算的降解系数值是高了还是低了？这说明了什么问题？降解模型解:(1)设t时刻氨氮的浓度为N(t)，日降解系数为k，则氨氮浓度随时间变化所满足的微分方程如下：其中N0表示0

4、时刻的氨氮浓度(2)该河段氨氮浓度随时间变化的规律：降解模型解得，带入边界条件得k=0.1993从而该河段氨氮浓度随时间的变化规律为：(3)从(2)中计算出的降解系数可以看出，其值0.1993比自然值0.3低了，说明在该河段(从湖南岳阳城陵矶到江西九江河西水厂)还有其它的排污点。降解模型(1)齐次方程/HomogeneousEquation/(2)可化为齐次方程的方程类型/ClassificationsofHomogenous/2可化为变量分离方程的类型/ClassificationsofVariableSeparatedEquation/(1)齐次方程/Ho

5、mogeneousEquation/形式：g(u)为u的连续函数一般方程的右端函数f(x,y)是x，y的零次齐次式。即或f(x,y)可表示成以特点：解法(1)作变量变换即y=ux（2）对两边关于x求导（3）将上式代入原方程，得整理……….(2.3)变量可分离方程（4）求解方程(2.3),若其解为:(5)原方程的通解为:………………………………..(2.4)(为任意常数)例3求解方程解令(为任意常数)令得:sinu=cx（c为非零任意数）另当tanu=0时，u=0即u=0也是方程(2.4)的解故（2.4）的通解为sinu=cx（c为任意常数）代回原来的变量，原方

6、程的通解为: