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1、课件制作广安二中何琥多米诺骨牌§2.3数学归纳法多米诺骨牌多米诺骨牌思考1:有若干块骨牌竖直摆放,要将它们全部推倒,有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？(1)第一块骨牌倒下(2)前一块骨牌倒下一定导致后一块骨牌倒下.思考2:某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？该家族所有男丁世代都姓王的条件是什么？(1)始祖姓王(2)子随父姓(第1代姓王)(如果第k代姓王，则第k+1代也姓王)例1.已知数列{an}满足：(n=1,2,3…),试归纳出这个数列的通项公式.猜想:只能由第n项推出第n＋1项.现在，该数列的各项能确定吗？怎样才能确定数列中的每一项？(2)由第
2、n项可推出第n＋1项.(1)给出第1项；例1.已知数列{an}满足：(n=1,2,3…),试归纳出这个数列的通项公式.猜想:a1=2例1.已知数列{an}满足：(n=1,2,3…),试归纳出这个数列的通项公式.猜想:a1=2两者缺一不可！怎样才能确定数列中的每一项？(2)由第n项可推出第n＋1项.(1)给出第1项；例1.已知数列{an}满足：(n=1,2,3…),试归纳出这个数列的通项公式.猜想:你会证明吗？猜想:例1.已知数列{an}满足：(n=1,2,3…),试归纳出这个数列的通项公式.根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N＊都成立.(1)证明当n取
3、第一个值n0(n0∈N*)时命题成立(2)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k＋1时命题也成立.一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可以按如下步骤进行：只要完成了这两步,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法。第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推.验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立数学归纳法可以用框图表示为归纳奠基归纳递推例2.已知数列{an}满足：(n=1,2,3…),试归纳出这个数列的通项公式,并加以证明.猜想
4、:a1=2根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N＊都成立.注意:用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.(1)(归纳奠基)是递推的基础找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据假设n＝k时命题成立(作为必用的条件)利用假设及已知的定义、公式、定理等证明n＝k+1时命题成立.当然，也不要忘了下结论哦！证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.(2)假设n=k(k∈N＊,k≥1)时等式成立,即：1+3+5+……+(2k-1)=k2，那么,当n=k+1时：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]所以当n=k+1时等式也成立.
5、由(1)和(2)可知,对n∈N＊,原等式都成立.例3.用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2(n∈N＊).第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2例4.求证(n+1)(n+2)…(n+n)=2n.1.3….(2n-1)证明(1)n=1时,左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立.(2)假设当n=k(k∈N＊)时等式成立,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k.1.3….(2k-1),那么,
6、当n=k+1时,(k+1+1)(k+1+2)….=(k+1)(k+2)(k+3)….(k+k).(2k+1).2=2k.1.3….(2k-1)(2k+1).2=2k+1.1.3….(2k-1).[2(k+1)-1]∴当n=k+1时等式也成立.由(1)、(2)可知，对一切n∈N＊,原等式均成立.(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)练习1.用数学归纳法证明12+22+……+k2+(k+1)2+(k+1)2练习2.已知数列计算,根据计算的结果，猜想的表达式,并用数学归纳法进行证明.作业：P95练习1、2例5.是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整
7、数n都成立,并证明你的结论.对这类的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数，然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.解:由n=1,2等式成立得(2)假设当n=k时结论正确,即:则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.例6.比较2n与n2(n∈N*)的大小注：先猜想，再证明解：当n=1时，2n=2,n2=1,2n>n2当n=2时，2n=4,n2=4,2n=n2当n=3时，2n=8,n2=9,2n8、，2n=32,n2=25,2n>n2当n=6时，2n=64,n2=
