高中数学放缩法.doc

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1、1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知求证：证明：若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.证明：由f(n)==1-得f（1）+f（2）+…+f（n）>.15此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可

2、以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、已知an=n，求证：＜3．证明：=＜1＋＜１＋==1＋(－)=1＋1＋－－＜2＋＜3．本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；例4、已知数列满足求证：15证明本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.5、逐项放大或缩小例5、设求证：证明：∵∴∴，

3、∴本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。6、固定一部分项，放缩另外的项；例6、求证：15证明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。7、利用基本不等式放缩例7、已知，证明：不等式对任何正整数都成立.证明：要证，只要证.因为，，故只要证，即只要证.因为，所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.求证15证明本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题

4、的目的。求证证明15说明：若本题从第二项起放大，则左边<1+1-<2,这使的证明失败.例14分析15放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”。常用的放缩技巧还有：（1）若（2）（3）若则（4）（5）（6）或（7）等等。用放缩法证明下列各题。例1求证：证明：因为所以左边因为99＜151

5、00（放大）＜所以例2（2000年海南理11）若求证：证明：因为所以因为［因为（放大），所以又所以是增函数］，所以，所以例3（2001年云南理1）求证：证明：（因为）［又因为（放大）］，所以所以例4已知求证：证明：因为例5求证：证明：因为（因为）15（放大）所以例6（2000年湖南省会考）求证：当时，函数的最小值是当时，函数的最大值是证明：因为原函数配方得又因为所以（缩小），所以函数y的最小值是。当所以（放大），所以函数y的最大值是例7求证：证明：因为（分母有理化）所以原不等式成立。例8（2002年贵州省理21）若求证：证明：因为而所以所以同理可

6、证（当且仅当时，取等号）。15例9已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：证明：不妨设据三角形三边关系定理有：便得所以原不等式成立。例10（1999年湖南省理16）求证：证明：因为又所以原不等式成立。例11求证：证明：因为左边证毕。例12求证证明：因为所以左边注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若则。2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。15放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径数列与不等

7、式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。1、先放缩再求和例1（05年湖北理）已知不等式其中为不大于2的整数，表示不超过的最大整数。设数列的各项为正且满足，证明：，分析：由条件得：……以上各式两边分别相加得：15=本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。例2（04全国三）已知数列的前项和满足：，（1）写出数列的前三项，，；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a

8、2=0,a3=2；⑵由已知得：（n>1）化简得：,故数列{}是以为首项,公比为15的等比数列.故∴∴数列{}的通项公式为：.⑶观察要证的