高中数学放缩法公式.pdf

《高中数学放缩法公式.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、“放缩法”证明不等式的基本策略1、添加或舍弃一些正项（或负项）n1aaa例1、已知a2n1(nN*).求证：12...n(nN*).n23aaa23n1a2k11111111证明：Qk.,k1,2,...,n,a2k1122(2k11)23.2k2k2232kk1aaan1111n11n112...n(...)(1),aaa232222n232n2323n1n1aaan12...n(nN*).23aaa223n1若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式

2、中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2k2，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）4x11例2、函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+(nN*).14x2n124n11证明：由f(n)==1-114n14n22n111得f（1）+f（2）+…+f（n）>11122122222n111111n(1)n(nN*).4242n12n12

3、此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。3、逐项放大或缩小n(n1)(n1)2例3、设a122334n(n1)求证：an2n212n1证明：∵n(n1)n2nn(n1)(n)2222n1∴nn(n1)213(2n1)n(n1)(n1)2∴123

4、na，∴an22n22n1本题利用nn(n1)，对a中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的2n数列，达到化简的目的。4、固定一部分项，放缩另外的项；11117例4、求证：L122232n241111证明：Qn2n(n1)n1n1111111115117L1(L)().122232n22223n1n42n4此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。5、函数放缩ln2ln3ln4ln3n5

5、n63n(nN*)例5.求证：2343n6.lnx1ln2ln3ln4ln3n111lnxx113n1()解析:先构造函数有xx,从而2343n233n11111111111111因为233n234567892n2n13n533993n13n15n669182723n13n6ln2ln3ln4ln3n5n5n63n13n所以2343n666、裂

6、项放缩n15例6求证:k23.k1114112n214n212n12n1n1121111125n2解析:因为4,所以k2352n12n133k17、均值不等式放缩n(n1)(n1)2例7.设S1223n(n1).求证S.n2n2解析:此数列的通项为akk(k1),k1,2,,n.kk11kk(k1)knn1kS(k)，22，n2k1k1n(n1)n(n1)n(n1)2S.即2n222ab注：①应注意把握放缩

7、的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab，若放成2n(n1)(n3)(n1)2S(k1)k(k1)k1则得n22，就放过“度”了！k1②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里naaa2a2naa1n1n111nnnaa1nn2,3其中，等的各式及其变式公式均可供选用。8、二项放缩2n(11)nC0C1Cn,2nC0C1n1,nnnnnn2n22nC0C1C2nnnn22n(n1)(n2)