极坐标系与参数方程.doc

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1、极坐标系与参数方程　　　　　　　　　　　　　　编稿：侯彬　　审稿：安东明　　责编：辛文升一、基础知识回顾1．极坐标系　　（1）建系：如图所示，在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的　　　　正方向（通常取逆时针方向）合称为一个极坐标系。O点称为极点，Ox称为极轴。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平面上任意点M的位置可以由线段OM的长度（≥0）和从Ox到OM的角度来刻画，这两个数组　　　　成的有序数对称为点M的极坐标。称为极径，称为极角。多数情况下，我们用弧度制度　　　　量。　　　　注意：平面上的点与其极坐标

2、之间不具有一一对应关系，因为若点M的一组极坐标为，则　　　　　　　（k∈Z）也是点M的极坐标。若限定，则除原点外，点其极坐标一　　　　　　　一对应。　　（2）极坐标系与直角坐标系的互化　　　　在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以的射线作y轴的　　　　正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系。　　　　设M为平面上的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为。画图可知：　　　　，或。　　（3）曲线的极坐标方程的概念　　　　在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程。如果曲线C是由极坐标满足　　　　方程的所

3、有点组成的，则称此二元方程为曲线C的极坐标方程。　　　　也就是说：①以方程的解为坐标的点在曲线C上；　　　　　　　　　②曲线C上的点的至少一组坐标是方程的解。　　（4）直线的极坐标方程　　　　①经过极点：或。　　　　②垂直于极轴且与极点距离为a（＞0）：。　　　　③平行于极轴且与极点距离为a（＞0）：。　　（5）圆的极坐标方程　　　　①圆心为极点，半径为r：。　　　　②圆心为（r，0），半径为r：。　　　　③圆心为，半径为r：。　　　　④圆心为，半径为r：。　　　　⑤圆心为，半径为r：。2．参数方程　　（1）定义：平面直角坐标系上点的坐标x，y表

4、示为第三个变量t的函数，，参数t是　　　　联系x，y的桥梁，消去t即得到方程F(x，y)=0。　　　　注意：①对t的每一取值，方程组确定的点（x，y）在曲线上；　　　　　　　②线上任一点（x，y）都可由t的某一取值通过方程组可得到。　　（2）已知直线经过定点P0(x0，y0)，倾斜角为，则方向向量，直线上任意一点　　　　P(x，y)满足，则（t为参数）。　　　　注意：参数t的意义：　　　　①t的符号：相对于P0（x0，y0）的位置。②t的绝对值：

5、P0P

6、=

7、t

8、。　　　　若已知一般的方向向量类似于上述过程（t为参数），但此时参数t就不具　　　　

9、有上述参数方程的意义。　　（3）圆的参数方程：，为参数。　　　　椭圆的参数方程：，为参数。二、典型例题　　1．设点，直线过极点且垂直于极轴，分别求点M关于极轴，直线，极点的对称点的极坐标。　　解：关于极轴：；　　　　关于直线：　　　　关于极点：。　　说明：点的极坐标不唯一，写出一组即可。　　2．把下列点的极坐标化为直角坐标：，B（1，2）。　　解：（1），，，，　　　　　　∴A点直角坐标。　　　　（2），，，，　　　　　　∴B点直角坐标。　　3．把下列点的直角坐标化为极坐标：A（1，－1），B（1，π）　　解：（1），，，，又A在第四象限，　　　

10、　　　∴　　　　　　∴A点极坐标　　　　（2），，，，又B在第一象限，　　　　　　∴　　　　　　∴B点极坐标　　4．将下列极坐标方程化为直角坐标方程。　　（1）；（2）；（3）；（4）。　　解：（1），∴直角坐标方程为x2+y2=1　　　　（2）∵曲线经过极点，∴，∴x2+y2=y　　　　（3）∴　　　　　　∴(x2+y2)(x－1)=0　　　　（4）曲线经过极点　　　　　　∴∴(x2+y2)2=2a2xy　　5．求直线的倾斜角。　　解：法一：直线的方向向量，∴倾斜角为　　　　法二：消去t，将直线方程化为普通方程为，　　　　　　　即，∴斜率，倾斜

11、角为。　　6．设直线经过点M（1，1），倾斜角为。　　（1）写出直线的参数方程；　　（2）求直线与直线的交点P的坐标及

12、PM

13、。　　解：（1）的参数方程为　　　　（2）由（1）知，解方程，得　　　　　　∴P点坐标为，　　　　　　即，且　　7．直线经过点A（1，3）且与共线，求点P（―2，―1）到直线的距离。　　解：的参数方程　　　　设P到点的距离为d，∴　　　　设∴当时　　　　∴P到的距离为。　　8．求椭圆上的点到M（2，0）的距离的最小值。　　解：设椭圆上点坐标，M到椭圆上点的距离为d　　　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　当时　　　　∴椭圆

14、上点到M（2，0）的距离最小值为。三、课后练习　　1．极坐标方程表示的曲线是（）　　A．直线　　　B．圆　　　C．椭圆　　　D．抛物线