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1、《坐标系与参数方程》伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。极坐标系的概念：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.极坐标与直角坐标的互化：设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直
2、角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程第-8-页共8页圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。圆的参数方程：第-8
3、-页共8页设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度。圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。直线的参数方程：过定点，倾角为α的直线：其中参数t是以定点为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论．（1）设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则＝＝；（2）线段AB的中点所对应的参数值等于．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；
4、焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。第-8-页共8页抛物线的参数方程：抛物线的参数方程可表示为. 【典型例题】例1已知曲线的参数方程是,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线的坐标系方程是,正方形的顶点都在上,且依逆时针次序排列,点的极坐标为(1)求点的直角坐标;(2)设为上任意一点,求的取值范围.(1)点的极坐标为点的直角坐标为(2)设;则例2在极坐标系中，设圆上的点到直线的距离为，求的最大值．解：将极坐标方程转化为普通方程：可化为在上任取一点A，则点A到直线的距离为，它的最大值为4例3自极点作射线与直线相
5、交于点，在上取一点，使得，求点的轨迹的极坐标方程．第-8-页共8页解：法一：将直线方程化为，，设动点P，M，则，又，得；法二：以极点为坐标原点建立直角坐标系，将直线方程化为，设P，M，，又MPO三点共线，，转化为极坐标方程．例４在直角坐标中,圆,圆.(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆的极坐标方程,并求出圆的交点坐标(用极坐标表示);(2)求出的公共弦的参数方程.第-8-页共8页例5在极坐标中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆的极坐标方程.∵圆圆心为直线与极轴的交点,∴在中令,得.∴圆的圆心坐标为(1,0).∵圆经过点,∴圆的半径为.∴圆经过极
6、点.∴圆的极坐标方程为.例6．在曲线：，在曲线求一点，使它到直线：的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．解：直线化成普通方程是设所求的点为，则C到直线的距离当时，即时，取最小值1此时，点的坐标是第-8-页共8页例7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．（1）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（2）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交
7、点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．（1）C1是圆，C2是椭圆.当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.（2）C1，C2的普通方程分别为当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形.故四边形A1A2B
