動態電腦幾何教學建構之設計實例與理論探析.doc

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1、動態電腦幾何教學建構之設計實例與理論探析謝哲仁美和技術學院摘要傳統幾何的課程、教材的呈現是靜態的。對大部份的學生而言幾何證明是-•場惡夢，很少學生能夠如同專家一樣享受發現的樂趣；可是證明乂是數學學習屮最重要的一環。如何應用有效的竜腦軟體融入我們的教學屮，使靜態的幾何變成動態，爲死氣沉沉的幾何學習注入新生命，實是我們從事數學教育者必須努力以赴的。本文的日的是建構及設計可以用電子幾何板(Geometer^Sketchpad)^從事數學教學的情境及教材實例。幾何模型、古典、變換、軌跡及解析幾何都是設計的主題

2、之一。在建構的過程裡採用多重表徵理m(multiplerepresenlalions)^Uffl電子幾何板的特性，創造出下列模式：(1)圖形模式(graphicalmode)一探索各種圖形變化(2)數値模式(numeTicdlmode)一對應數値的變化(3)文字模式(⑹dmodel問題的呈現或說明圖形模式是可操作的；亦即使用者可以更改圖形模式屮預留的操控點，其對應的圖形將因而快速地更動'其變動的數値亦可做成表格©ble)加以探究，最後抽取變化111的不變性K(invariant)，數學定S(theor

3、ems)S而被創造。本文除建構一些實例外(以圖展示)，其相關的數學認知活動亦被探討。關鍵詞：多重表徵幾何教學電腦學習數學教育數學課程【學與電I.背景與目的演繹推理、歸納法及類似法則是數學證明不可或缺的工具。早期數學與科學、純粹數與應用數學的分野，就在於其硏究的實體與使用的方法不同。科學家或應用數學家往往必需落實在某種實物界(physicalworld)j藉由實驗、模擬取得數據並加以歸納後，取得結果；而驗證其有效性，往往考慮重覆性(reproducible)還有-致性(consistency)°純粹數學

4、的領域則是在一理想世界(perfectworld)[^J，做假設性的推演，所憑藉的是定義、公設、公理後的演繹邏輯而不只是物象表面的觀察。而驗證其有效性就是邏輯演繹-工具的本身。然而太強調這樣的界線在學術界愈來愈多人質疑是否有必要。生物學家達爾文(Darwin)著名的申辯「多養貓，豬會胖起來」所仗持的就是純粹邏輯，可是多養貓，豬真的會胖起來嗎？英國的政經學家馬爾薩斯(Mallhus)也依公理的方式，悲觀的推論「人口的增加率較諸地球爲人類生產食物的增加率大上無限倍」，如照馬氏的推測這時，我們應該沒有食物了

5、。而如果太依賴外界的表徵，往往也容易造成歸納或演繹的不實，例如費馬(PierredeFermat,1601665)就誤歸納出形如2"+1都是質數徳國克萊恩(F.Klein)所引證批判的結論「任意三角形都是等腰三角形」都是受到直觀或經驗觀察不足導致的結果(蕭文強，1984)。最近科技的興起，電腦套裝軟體的普及，這樣明顯的分野或觀察不足的現象5漸被塡補；例女口質數(primenumbers)、四色問題(four-colorproblem)'碎形幾何(fractalgeometry)的硏究。232+1可被6

6、41整除，甚者2^+1有274177的因數，以前只有數學家才可能有的經驗，現今可以被“•般的凡夫俗了擁有，於是幾何和代數，數値運算和代數，計算和幾何都有相互支持的著力點。數學由於科技的介入，在方法上，產生前所未有的融合契機；亦即觀察歸納可與邏輯演繹並進。我國現有數學課程在小學就有簡單的幾何圖形與面積計算槪念，國屮階段切入以歐氏爲主的幾何(古典幾何)、在高屮階段則切入解析幾何的觀念，但淺嘗即止。高級屮學教材屮雖有圓錐曲線、向量觀念、三角學課程，但證明的訓練已蕩然無存。國中的幾何早期還有軌跡題日，但現今只

7、留給數學教師，作詩人墨客的徒歎噓唏而已，數學證明對大多數學生都是一場惡夢，聯考題目只要有證明的題0，不是跳過■最後處理，就是根本放棄。數學教育學者，都同意大部分的學生無法達至VanHiele的形式演繹(formaldeduction)及嚴密性(Rigor)(Usiskin,1982)°面對學生程度的江河口下，再加上數學課程的精簡，以數學證明爲訓練的課程，明顯的式微了。市場上5雖然有各式的數學軟體例如統計的SAS,代數的Maple,Malhematica，數値運算的Excel。但數學教師要將這些軟體熟練

8、然後倂入到教學當屮並不是一件很容易的事。更何況數學的學習含蓋數値的、代數的、圖型的及語意的各種表徵(representation)的交互用(Kaput,1992)°這些軟體冲文化啲問題、”價位"的問題都讓有興趣引進電腦從击數學教學的老師感到遲疑o再者，市面上的這些軟體都是日的取向(goal-oriented)的工具軟體亦即當使用者輸入所具備的資料格式時(input)軟體回應可能的結果(outcome)•

9、間似乎忽略了數學教學原理所需過程(PTOCCSS)