概率论课件数学期望.ppt

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1、第四章随机变量的数字特征与极限定理返回帮助数学期望方差几个重要随机变量的数学期望与方差协方差与相关系数矩、协方差矩阵大数定理与中心极限定理小结与思考题一.数学期望的定义例1设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数4060708090100人数1691572数学期望——描述随机变量取值的平均特征返回下页上页则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即定义4.1设X是离散型随机变量，它的分布律是:P(X=xk)=pk,k=1,2,…上页下页返回例2掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。返回下页上页例3某厂生产的产品中，25%是一等品，50%是二等

2、品，15%是三等品，10%是次品。如果每件一，二，三等品分别获利5、4、3元，一件次品亏损2元，试问该厂可以期望每件产品获利多少元？解设X表示每件产品的利润，显然它是一个离散型随机变量，其分布律为Xpi-23450.10.150.50.25定义4.2设X是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x),-

3、机变量Y=X2的数学期望XPk-101YPk104.1.2.随机变量函数的期望返回下页上页定理1设X是离散型随机变量,它的分布律P{X=xk}=pk,k=1,2,…,则Y=g(X)（g是连续实函数）,若g(xk)pk绝对收敛，则Y的期望E(g(X))为推论:设(X,Y)是二维离散型随机变量，它们的联合分布律为P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,则Z=g(X，Y)的期望返回下页上页例6设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)解:返回下页上页定理2设X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x),Y=g(X)(g是连续实函数),若绝对收敛，则Y=g(

4、X)的期望推论设(X,Y)是二维连续型随机变量，它的概率密度为f(x,y),Z=g(X,Y)(g是连续实函数)绝对收敛,则Z=g(X,Y)的期望返回下页上页例7长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则=10分25秒返回下页上页010305560例8设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)返回下页上页返回下页上页1.E(c)=c,c为常数;2。E(cX)=cE(X),c为常数;4.1.3.数学期望的性质证明:设X~f(x)

5、,则返回下页上页3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);证明:设(X,Y)~f(x,y)返回下页上页4.若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).证明:设(X,Y)~f(x,y)返回下页上页例9.设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数解:设Xj为第j组的化验次数，XjPj1101X为1000人的化验次数，则返回下页上页返回下页上页例10若X~B(n,p),求E(X)解:设第i次

6、试验事件A发生第i次试验事件A不发生则返回下页上页例11若有n把看上去样子相同的钥匙，其中，只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设取到每把钥匙是等可能的，每把钥匙试开一次后除去。试用下面两种方法取求试开次数X的数学期望。（1）写出X的分布律；（2）不写出X的分布律；解而所以