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1、第四章随机变量的特征数每个随机变量都有一个概率分布（分布函数，或分布律、概率密度），这个分布完整地刻画了随机变量的统计规律性。然而在许多实际应用问题中，人们更关注这个概率分布的一些综合特征，这些综合特征是概率分布某方面信息的概括并且可用一个数值表示。这种由随机的分布确定的，能刻画随机变量某方面特征的常数统称为数字特征或特征数。例如，考虑某种元件的寿命，如果知道了其寿命的概率分布，那么就把握了元件寿命的所有概率信息。比如可以计算出寿命在任一指定范围内的概率。根据这一分布，还可以确定用以反映寿命平均水平的特征数-数学期望，以及用以刻画寿命值的散布程度（或稳定程度）的特
2、征数-方差.这些特征数虽不能对寿命状况提供完整刻画,但却往往是人们最为关注的一个方面.无论在理论上还是在实用中，这些特征数都有着极重要的意义.尤其是实用中,概率分布虽很“完美”,但难以把握;而特征数则容易把握,并且特征数是以一个“醒目”的数值刻画随机变量的某种特征,这也使得应用方便.§4.1随机变量的数学期望一.数学期望的定义定义设离散型随机变量的分布律为，如果则称为的数学期望，记为，即若级数不绝对收敛，则称的数学期望不存在。由以上定义可看出，若只取有限个值，则它的数学期望总是存在的。而若取可列个值，则它的数学期望不一定存在，是否存在就看级数是否绝对收敛，这个要求
3、的目的在于使期望值唯一。因为若无穷级数只是条件收敛，则可通过改变这个级数各项的次序，使得改变后的级数不收敛或收敛到任意指定的值，这意味着这个级数的和存在与否，以及等于多少，与的取值的排列次序有关，而作为刻画取值的平均水平的特征数，具有客观意义，不应与的取值的排列次序有关。由定义，的期望值就是其所有可能取值的加权平均，每个可能值的权重就是取该值的概率，因此的数学期望又称为的均值。同时还可看出的数学期望只依赖于的15概率分布，因此随机变量的期望又叫分布的期望。期望的定义可以用概率的频率定义来解释:设想是一个机会游戏的某个参与者的所得,每次游戏,该参与者以概率赢得元.如
4、果他连续多次玩这个游戏,比如次,赢得元的次数记为次,那么在次游戏中,他平均所得为.由概率的频率定义,在很大时,频率近乎概率,那么上述平均值近乎于期望值.对于连续型随机变量,以积分代替求和,从而得到连续型随机变量的期望的定义.定义设连续型随机变量的密度函数为，如果则称为的数学期望，简称为期望或均值.若不收敛，则称的数学期望不存在.注:期望这一概念可类比于质量分布的质心这一物理概念.把概率分布看作质量在轴上的分布.在离散场合,概率看作点处的质量,那么该质量分布的质心的坐标为，即为期望值.在连续场合,概率密度函数相应于质量分布密度,质量分布的质心的坐标为，同样是期望值.
5、例4.1.1(1)设随机变量的分布律为的数学期望是否存在?例4.1.2按规定，某车站每天8:00～9:00,9:00～10:00都各有一辆客车到站，且到站时刻是随机的，两者到站时间相互独立，其规律为到站时刻8:109:108:309:308:509:50概率一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望。解设旅客候车时间记为（单位：min）,则的分布律为151030507090因此的数学期望为(min).例4.1.3在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此需抽验个人的血,可以用两种方法进行.(i)将每个人的血分别去验,这需要验次.(ii)按个人一组进行分组,把个人的
6、血混在一起进行检验,如果这混合血液呈阴性反应,说明个人的血都呈阴性反应.这样,个人的血液就只需验一次.若呈阳性,则再对这个人的血液逐一检验.这样,个人的血液就共需验次.假设每个人血液化验呈阳性的概率为,且这些人的试验反应是相互独立的.试说明当较小时,选取适当的,按第二种方法可以减少化验次数,并说明取什么值时最适宜.解设个人以为一组时,个人共需化验的次数为,则的分布律为这里.的数学期望为,由此可知,只需选取使得,即,便可使第二种方法减少平均化验次数.要使最大程度地减少平均化验次数,需选取使得小于1且取到最小值.这时就能得到最好的分组方法.例如,,则当时得到最好的分组
7、方法.若,则按第二次方法平均只需化验次数为,这样平均来说,可以减少40%的工作量.例4.1.4随机变量的密度函数为15求.解：.二.随机变量函数的期望如果知道了随机变量的概率分布（分布律或概率密度），我们可以利用其概率分布计算的数学期望。而计算的函数（比如）的期望是经常遇到的问题，既然本身也是一个随机变量，有自己的概率分布，这个分布可通过的概率分布确定，一旦确定了的概率分布，那么我们利用的概率分布计算出。容易想到的数学期望完全取决于的概率分布，那么我们很自然地希望能直接利用的概率分布去计算的数学期望.下面定理解决了这个问题。定理设随机变量的函数.（1）设随机变量的
8、分布律为，
