概率论与数理统计期望

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1、前两章讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特征，但在一些实际问题中，随机变量的分布函数并不容易求得；另一方面，在一些实际问题中，我们往往并不直接对分布函数感兴趣，而只对分布的少数几个特征指标感兴趣，例如分布的中心位置，分散程度等等，一般称之为随机变量的数字特征，而这些数字特征在理论和实践中都具有十分重要的意义。本章介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、协方差、相关系数和矩。第一节数学期望一、离散型随机变量的数学期望我们希望引进这样一个特征数字，它能反映随机变量X所取数值的集中位置，就象力学系统中的

2、重心反映该系统质量的集中位置一样，在概率论中，这样一个数字就是随机变量的数学期望（也称平均值）.先看一个例子。观察一名射手20次射击的成绩如下：人们常使用“平均中靶环数”来对射手的射击水平作出综合评价，记平均中靶环数为x,则有：我们知道，当试验次数增大时，频率的稳定值就是概率，那么完整描述该射手真实水平的是其射中各环数的概率分布，相应地，观察到的平均中靶环数x随试验次数增大必将趋于一个稳定值，设中靶环数X（观察之前为随机变量）的分布律为：P{X=i}=pi,i=0,1,2,…,10,定义中“绝对收敛”这一条件，是为了保证E(X)的值

3、不因求和的次序改变而改变，期望公式(1)实际上是随机变量X的取值以概率为权的加权平均，它也有一个物理的解释。例1X~b(1,p),求E(X)解因X有分布律X01pk1-ppX的数学期望为E(X)=0(1-p)+1p=p.例2设X~p(l),求E(X)解X的分布律为X的数学期望为例3甲乙两工人每天生产出相同数量同种类型的产品，用X1,X2分别表示甲、乙两人某天生产的次品数，经统计得以下数据：次品数X10123pk0.30.30.20.2次品数X20123pk0.20.50.30试比较他们的技术水平的高低。解根据定义，X1的数学期望E(

4、X1)=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3E(X2)=00.2+10.5+20.3+30=1.1所以甲的技术水平比乙低。次品数X10123pk0.30.30.20.2次品数X20123pk0.20.50.30二、连续型随机变量的数学期望现在我们给出连续随机变量的数学期望的定义。设连续随机变量X的概率密度为f(x),随机变量X落在小区间(x,x+Dx)内的概率近似f(x)Dx,所以，连续随机变量的数学期望可以定义如下：从几何意义来说，连续型随机变量X的数学期望E(X)就是概率分布曲线y=f(x)与x轴之间的平面

5、图形的重心的横坐标，这是因为上述平面图形的面积为例4设随机变量X在区间(a,b)内服从均匀分布，求E(X).解由题意知，X的概率密度为于是有例5设X服从参数为l(l>0)的指数分布，求E(X).解由题意知，X的概率密度为则例6设随机变量X服从柯西分布(Cauchy)，概率密度为求E(X).解因为广义积分不收敛，所以E(X)不存在.三、二维随机变量的数学期望对二维随机变量(X,Y)，定义它的数学期望为E(X,Y)=(EX,EY).设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,….则设二维连续随机变

6、量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则例7设(X,Y)的密度函数为求E(X),E(Y).xyO1D解如图所示xyO1D四、随机变量函数的数学期望为了计算随机变量函数的数学期望，我们可以先求出随机变量函数的分布律或概率密度，然后按公式(1)或(2)计算数学期望。但是，也可以用下面介绍的几个定理直接计算随机变量函数的数学期望。例8设随机变量X的分布律为X-2-10123p0.100.200.250.200.150.10求随机变量函数Y=X2的数学期望.求随机变量函数Y=X2的数学期望．解用两种方法计算方法１先求Y的分布律为X-2-1

7、0123p0.100.200.250.200.150.10Y0149p0.250.400.250.10由公式(1)得E(Y)=00.25+10.40+40.25+90.10=2.30求随机变量函数Y=X2的数学期望．解用两种方法计算方法2由公式(7)得E(Y)=(-2)20.10+(-1)20.20+020.25+120.20+220.15+320.10=2.30X-2-10123p0.100.200.250.200.150.10例9设随机变量X在区间(0,p)内服从均匀分布，求随机变量函数Y=sinX的数学期

8、望.解仍用两种方法计算：方法1先利用分布函数法求得Y的概率密度为再由公式(2)得例9设随机变量X在区间(0,p)内服从均匀分布，求随机变量函数Y=sinX的数学期望.解仍用两种方法计算：方法2由题意知，