概率论与数理统计wsgch41数学期望课件.ppt

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1、第四章第一节数学期望在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.其中最常用的是期望和方差一、离散型随机变量的数学期望概念的引入：某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？我们来看这个问题.若统计100天,例1某车间对工人的

2、生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;可以得到这100天中每天的平均废品数为这个数能否作为X的平均值呢？可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.可以得到n天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出三件

3、废品)一般来说,若统计n天,这是以频率为权的加权平均由频率和概率的关系不难想到，在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X的平均值.定义1设X是离散型随机变量，它的概率分布是:P{X=Xk}=pk,k=1,2,…也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.如果有限,定义X的数学期望数学期望的统计意义请看演示要了解数学期望的统计意义，两点分布X∼B(1,p),0

4、1-p)=p常见离散型随机变量的数学期望二项分布X∼B(n,p)，其中00,则E(X)=二、连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0

5、离散型r.v该离散型r.v的数学期望是由此启发我们引进如下定义.定义2设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),如果有限,定义X的数学期望为也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.若X~U[a,b],即X服从[a,b]上的均匀分布,则若X服从若X服从参数为由随机变量数学期望的定义，不难计算得：这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是1.68.已知某地区成年男子身高X~三、随机变量函数的数学期望1.问题的提出：设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而

6、是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？如何计算随机变量函数的数学期望?一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的.类似引入上述E(X)的推理，可得如下的基本公式:设X是一个随机变量，Y=g(X)，则当X为离散型时

7、,P(X=xk)=pk;当X为连续型时,X的密度函数为f(x).该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.X∼N(0,1)求:E(X2)解:例3设:国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量X(单位:吨).X服从区间[2000,4000]上的均匀分布.每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元;若销售不出,则每吨商品需贮存费1万元.求:应组织多少货源,才能使国家收益最大?例4.设组织货源t吨.显然应要求2000≤t≤4000.国

8、家收益Y(单位:万元)是X的函数Y=g(X).表达式为:解由已知条件,X的概率密度函为可算得当t=3500时,E(Y)=-2t2+14000t-8000000达到最大，因此，应组织3500吨货源.说明前面我们给出了求g(X)的期望的方法.实际上定理的结论可以原封不动地推广到两