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1、第四章随机变量的数字特征第一节数学期望一数学期望例设甲乙两人在同样的条件下各生产了100天,在一天中出现废品的概率分布如下问:从平均废品数看谁的技术好.解从表中可知:甲有天不出现废品有天出现1件废品有天出现2件废品有天出现3件废品因此在100天中甲共出现的废品数为甲平均每天出现的废品数为同样可得：乙平均每天出现的废品数为由此可知:从平均每天出现的废品数看,乙的技术比甲的好.定义:设随机变量X的概率分布为如果绝对收敛,则称为X的数学期望,记为E(X),即类似可得:定义:设连续型随机变量X的概率密度为E(X)表示X的平均值例设X服从
2、两点分布,求E(X).解:设X的概率分布为则例设X服从[a,b]上的均匀分布,求E(X)解X的概率密度为例设射手击中目标的概率为p,用X表示射手第一次击中目标所需的射击次数,则试求射手第一次击中目标所需的平均射击次数.解平均射击次数为即平均射击次数与击中目标的概率p成反比.二随机变量函数的数学期望定理:设Y是X的函数,Y=g(X)(1)X是离散型,概率分布为则(2)X是连续型,概率密度为,则例设X的概率分布为求解例某电子元件的使用寿命X是个随机变量,其概率密度为若规定使用寿命在500小时以下为废品,产值为0元;在500到1000
3、小时之间为次品,产值为10元;在1000到1500之间为二等品,产值为30元,1500小时以上者为一等品,产值为40元,求该产品的平均产值.解设该产品的产值为Y,则该产品的平均产值为例设国际市场对某种商品的需求量X(单位:吨)是随机变量,它服从[2000,4000]上的均匀分布,设该商品每售出一吨,可获利3万元,但积压一吨需仓储费1万元,问(1)若计划出口量3000吨,求平均利润;(2)如何计划出口量可使平均利润最大解:(1)设Y表示计划出口量3000吨的利润,则平均利润为(2)利润是销售量与组织的货源数量共同决定的.记y为组织
4、的货源数量,Y为相应的利润,则上述定理可以推广到二维随机变量。设Z=g(X,Y)是随机变量X,Y的函数，(X,Y)的概率密度为f(x,y),则有三数学期望的性质证明：
