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1、浅谈概率论中〃数学期望〃概念的讲解•中学数学论文浅谈概率论中〃数学期望〃概念的讲解曹小玲(长江大学信息与数学学院，湖北荆州434023)摘要:在概率论与数理统计的学习中z〃数学期望〃是一个比较抽象的概念，本文阐述了〃数学期望"概念讲解中比较重要的三个内容，即：如何〃定义〃，如何〃引申〃到连续型随机变量的定义,以及如何〃过渡"到方差。关键词：数学期望；概率论与数理统计；教学中图分类号：G642.41文献标志码:A文章编号：1674・9324(2014)45-0199-03在我们进行概率论与数理统计的教学中,教材的编
2、排往往是在进行了随机变量及其分布函数的学习之后，立刻进入随机变量数字特征的学习，而最先面对的数字特征就是数学期望。〃数学期望〃这个概念的起源源于下lil这个经典典故。早些时候，法国有两个大数学家”一个叫做布莱士•帕斯卡，一个叫做费马。帕斯卡认识两个赌徒，这两个赌徒向他提岀了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局,谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局,时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是
3、满5局r而谁也没达到z所以就一人分一半呢？这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3/4,赢了3局的拿这个钱的1/4。这是为什么呢？假定他们俩再赌一局，A有1/2的可能赢得他的第5局，B有1/2的可能赢得他的第4局。若是A赢满了5局，钱应该全归他；若B赢得他的第4局,则下一局中A、B赢得他们各自的第5局的可能性都是1/2。所以，如果必须赢满5局的话，A赢得所有钱的可能为1/2+1/2X1/2二3/4，当然，B就应该得1/4了。数学期望由此而来。通过这几年的教学体会和教学经验,笔者发现〃数学期望〃这一概
4、念尽管来源于生活，而且跟现实生活结合得非常紧密，但因为它非常抽象，一般同学学到这个地方就会感觉到难于理解和接受。本文对数学期望概念的讲解进行了介绍，以期起到〃抛砖引玉〃的作用。关于如何定义〃数学期望〃首先是如何引入的问题。对于如何引入〃数学期望〃，我们为了唤起学生的学习兴趣，激发他们的学习动力,可以举一些密切联系生活的例子,比如上面的经典典故，或者将上面的经典典故作稍许变动，得到另外一个例子，如文献[3]中就是将〃赌金问题〃换成了〃乒乓球比赛问题〃。我们也可以作这样类似的变动，以吸引学生的课堂注意力，加深他们对《
5、概率论与数理统计》这门课程在解决生活实际问题的作用是非常大的印象，唤起他们对这门课程的兴趣，也激发他们对用数学方法处理现实问题的热情。当然”对于〃数学期望〃我们也可以从计算学生的平均成绩中直接引入。例如某一次考试考查学生的成绩为X设学生总人数为N分数分别为xl/2xn,每一个分数岀现的人数分别对应为kl,k2,kn,则容易算出这次考试学生平均分为x=p■二=£*叫而这电的牛为考试分数为暫的学生的频率由当N很大时,频率在一定意义上接近于概率“故学生平均成绩可XX表示为X二工ptXi,我们就把表达式工PiX称为随机变
6、i=li=l量〃数学期望〃量xn勺数学期望，记为e（X）二£1心，从而引出随机变的概念并指出其实质是随机变量的〃均值〃，即用X取值的概率作权重、作加权,平均得出X的数学期望，即X的数学期望就是X能取到的每个值乘以它取这个值的概率的积的和。这种引入方法的特点是直接、简单，节省上课时间，如果教师认为教学任务比较繁重、教学时间比较紧张，无法保证后续内容时间的把控，那么可以采用这种简洁的方式进行弓I入工作。由引例我彳门可以得到当X是离散型随机变量时，其数学期望的定义为：设离散型随机变量X的分布律为:P{X=xJ=pk,k
7、=l.2•…如果级数工绝对收敛.则称级数£孔厲为随机变量X的数学期睾（或均值）.记为E（X）（在不产牛混淆的情况下•也可记为此时一定要注意强调为什么这里要求级数绝对收敛呢？这是因为X分布律中的各个pk的地位是等同的，先写明0—项与后写明0—项应该对此级数的和不产生影响，否则EX),即E(x)=Xpk.我们就得不到一个确定的级数和了。Xxkpk因此，我们要求级数kT绝对收敛，是为了保证级数的和与级数各项次序无关。接着可通过一个例题来求解数学期望z从而加深学生对定义的理解和记忆。例如下面这则简单例子：掷一枚六面骰子
8、，已知其各面朝上的可能性是相同的，则掷得的点数的数学期望是多少呢？由上面的定义•我们可以得到:E(X)=lx—+2x6—+3x—+4x—+5x—+6x—=3.566666此时可以引导学生思考：骰子的任何一面都不可能为3.5,然而最后算得的掷得的点数的数学期望却是3.5,这说明了什么问题呢？这说明了期望值并不一定等同于常识中的〃期望〃，〃期望值〃也许与每一个结果都不相等。换
