《数学数学期望》PPT课件

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1、第四章随机变量的数字特征4.1随机变量的数学期望；4.2随机变量的方差；4.3协方差和相关系数;本章内容：4.4矩与协方差矩阵.分布函数能完整地描述r.v.的统计特性,但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道r.v.的某些特征.判断棉花质量时,既看纤维的平均长度平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好;又要看纤维长度与平均长度的偏离程度例如：考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.由上面例子看到，与r.v.有关的某些数值，虽不能完整地描述r.v.但能清晰

2、地描述r.v.在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.r.v.的平均取值——数学期望r.v.取值平均偏离均值的情况——方差描述两r.v.间的某种关系的数——协方差与相关系数或者是：两个随机变量相依的程度。本章内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写一.数学期望(均值)的定义第一节数学期望直观理解，数学期望就是一个随机变量所有可能取值的加权平均值，权就是这些可能值相应的概率。例如，1.假定发生意外的概率是0.001，则在购买保险的15,000人中，平均起来有多少个人需要赔偿？2.统

3、计资料表明强烈地震的间隔服从参数430(天)的指数分布，则平均多长时间发生一次强震？引例1设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数4060708090100人数1691572则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即数学期望——描述随机变量取值的平均特征1.离散型随机变量的数学期望引例2有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出问题：已知随机变量的概率分布,如何计算其平均值？解“射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可。分析：若甲射击N次,设击中8环,9环和1

4、0环的次数分别为次，则甲在N次射击中，平均每次击中的环数为由于概率是频率的稳定中心，以表示甲的平均击中环数,则故认为甲射手的水平较高。由于可以看出：平均值是以分布概率为权重的加权平均。定义设离散型随机变量X的概率分布为P{X=xk}=pk，k=1,2,3…若级数，则称级数和为随机变量X的数学期望（或均值），记作E（X）随机变量X的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因此要求否则，称随机变量的数学期望不存在．关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权

5、平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数和不随级数中各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.(3)数学期望完全由随机变量的概率分布所确定.若服从某一分布也称是这一分布的数学期望.解易知X－13P0.40.6例1设随机变量X的分布列为求若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一次扣1分，则E(X)=1

6、.4是指甲队平均每次可得分．解.以X记这个项目的投资利润。平均利润为：EX=5×0.3+0×0.6+(–10)×0.1=0.5，而同期银行的利息是10×0.02=0.2，因此从期望收益的角度应该投资这个项目。□利润50–10概率0.30.60.1例4.1.2假设某人有10万元，如果投资于一项目将有30%的可能获利5万，60%的可能不赔不赚，但有10%的可能损失全部10万元；同期银行的利率为2%，问他应该如何决策？例3设X~P(),求E(X).解X的分布律为E(X)=例2按规定，某公交车每天8点至9点和9点

7、至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻8:10/9:108:30/9:308:50/9:50概率0.20.40.4某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望．解设乘客的候车时间为X,若该乘客8:20到车站,而8点到9点的一趟车已于8:10开走,第二趟车9:10开,则他候车的时间为50min，该乘客其余候车时间对应的概率可类似得到，于是候车时间X的分布列为10305070900.40.40.040.080.08对应的概率为事件“第一趟车8:10开走，且第二

8、趟9:10开”发生的概率,即解候车时间X的分布列为10305070900.40.40.040.080.08从而该乘客候车时间的数学期望为例2按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻8:10/9:108:30/9:308:50/9:50概率0.20.40.4某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望．求随机变量X