数学期望与方差课件.ppt

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1、一、数学期望的概念二、数学期望的性质三、随机变量函数的数学期望四、小结第一节数学期望设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下引例射击问题试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数k命中次数频率一、数学期望的概念解平均射中环数设射手命中的环数为随机变量Y.平均射中环数频率随机波动稳定值“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加1.离散型随机变量的数学期望2.连续型随机变量数学期望的定义例一：将4个可区分的球随机地放入4个盒子中，每盒容纳的球数无限，求空

2、着的盒子数的数学期望.解：引入Xi,i=1,2,3,4.XiP101.设C是常数,则有证明2.设X是一个随机变量,C是常数,则有证明二、数学期望的性质3.设X,Y是两个随机变量,则有4.设X,Y是相互独立的随机变量,则有证明说明连续型随机变量X的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似.数学期望在医学上的一个应用AnapplicationofExpectedValueinMedicine考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需

3、化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：设随机抽取的10人组所需的化验次数为X我们需要计算X的数学期望，然后与10比较化验次数X的可能取值为1，11先求出化验次数X的分布律。(X=1)=“10人都是阴性”（X=11)=“至少1人阳性”结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数注意求X期望值的步骤！四、小结数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的

4、平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.2.数学期望的性质第二节随机变量的方差前面我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均,是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的.例如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，所以乙炮的射击效果好.中心中心为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就

5、是我们下面要介绍的方差A.方差的概念设随机变量X的数学期望为E(X),若E(X-E(X))2存在,则称它为X的方差（此时，也称X的方差存在)，记为Var(X)或D(X),即定义称Var(X)的算术平方根为X的标准差或均方差，记为(X).Var(X)=E(X-E(X))2若X的取值比较分散，则方差较大.刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度.若X的取值比较集中，则方差较小；Var(X)=E[X-E(X)]2方差注意：1)Var(X)0，即方差是一个非负实数.2）当X服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X

6、).方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个特征.方差的计算公式(1)若X为离散型，概率分布为(2)若X为连续型，概率密度为f(x),则则计算方差的公式证明:即X*=（X-μ）／σ的数学期望为0，方差为1，X*称为X的标准化变量.上式称为切比雪夫（Chebyshev）不等式定理：设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，不等式P{

7、X-μ

8、≥ε}≤σ2／ε2成立是概率论中的一个基本不等式.例6已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a，使股价超过1+a元或低于1-a元的概

9、率小于10%。解：由切比雪夫不等式令