数学期望与方差

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1、概率论与数理统计引入随机变量的分布函数能完整的描述随机变量的统计规律性。但在许多实际问题中，并不需要去全面考察随机变量的变化情况。如大致了解全班同学的身高情况，其实我们只要知道全班同学的平均身高、大家身高对平均身高的平均偏离程度就可以大致了解全班同学的身高情况。平均身高和平均偏离程度就是X的两个数字特征，我们分别称之为数学期望、方差。数学期望、方差、协方差和相关系数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是第四章随机变量的数字特征第一节随机变量的数学期望一、数学期望的概念二、随机变量函数的数

2、学期望三、数学期望的性质四、应用实例一、数学期望的概念1.问题的提出1654年,一个名叫德.梅尔的贵族就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(a

3、，很容易设想出以下两种分法：(1)A得200*（1/2)元、B得200*（1/2)元;(2)A得200*（2/3)元、B得200*（1/3)元;第1种分法考虑到A、B两人赌技相同，就平均分配，没有照顾到A已经比B多赢1局这一现实，显然对A是不公平的。第2种分法不但照顾到“A、B两人赌技相同”这一前提，还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然更公平一些。但是，第2种分法还是没有考虑到如果继续比赛下去的话会出现什么情形，即没有照顾到两人在现有基础上对比赛结果的一种期待。A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三局(A胜2局、B胜1局)与上

4、述结果相结合,即A、B赌完五局:AAABBABBA胜B胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:AAABBABBA胜B负A胜B负A胜B负B胜A负B胜A负A胜B负B胜A负B胜A负因此,A能“期望”得到的数目应为而B能“期望”得到的数目,则为故有,在赌技相同的情况下,A、B最终获胜的可能性大小之比为3:1.即A应获得赌金的而B只能获得赌金的这种分法自然比前两种方法都更为合理，使双方都乐于接受。这就是“数学期望”这个名字的由来。因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X的可能值与其概率之积的累加.即为若设随机变量X为:在A胜2局B胜

5、1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:其概率分别为:引例2加权平均成绩为该生各门课程的算术平均成绩.设某学生四年大学各门功课成绩分别为其学分分别为,则称这是以频率为权的加权平均显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种为该生的加权平均成绩.,可见加权平均才充分的体现了特例,即平均值的意义.这是以概率为权的加权平均通过上述2个引例,我们可以给出如下定义2.离散型随机变量的数学期望若级数,则称绝对收敛,即级数的和为随机变量X的数学期望,记为EX,即定义1设离散型随机变量X的分布律为X的分布律为E(X)=比如0-1分

6、布的期望为p注1ºEX是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.注2º级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不因可能值的排列次序而改变.设某教练员有甲、乙两名射击运动员,现需要选拔其中的一名参加运动会,根据过去的记录显示,二人的技术水平如下:乙射手甲射手试问哪个射手技术较好?例1选拔运动员解运动员的水平是通过其平均水平来衡量的,故甲射手的技术比较好.因而甲、乙两射手的平均水平分别为甲射手

7、乙射手解则有例2(泊松分布)因而泊松分布P的数学期望为.设X,且其分布律为设随机变量XP(),求EX.连续型随机变量的数学期望的引出设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0

8、连续型随机变量数学期望的定义定义2设连续型随机变量X的概率密度为则称为随机变量X的数学期望,fx,记为EX,即例3(均匀分布)解则有4.常见连续型随机变量的数学期望设随机变量X服从均匀分布,因而均匀分布数学期望位于区间的中点.