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1、三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠复习回顾例题精讲课堂小结课后思考三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)其导数为f´(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)导函数的判别式为△=4b2-12acx1x1x2三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠x2△≤0a>0a<0△>0a>0a<0三次函数的单调性与极值①a>0,△≤0时，f(x)在R上是单调递增的.②a<0,△≤0时，f(x)在R上是单调递减的.③a>0,△>0时，f(x)在(-∞,x1)↑,(x1,x2)↓(x2,+∞)↑.④a<0,△>0时，f(x)在(-∞,x1)↓,(x1,x2)↑,(x2,+∞)
2、↓.①a>0,△≤0时，f(x)在R上无极值.②a<0,△≤0时，f(x)在R上无极值.③a>0,△>0时，f(x)在x=x1,处有极大值，在x=x2有极小值.④a<0,△>0时，f(x)在x=x1,处有极小值，在x=x2有极大值.三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠△≤0a>0a<0△>0a>0a<0三次方程的根与交点问题△≤0a>0a<0△>0a>0a<0f(x)=0有且仅有一个实根，y=f(x）与x轴有且仅有一个交点。f(x)的极大值小于0或极小值大于0f(x)=0有且仅有一个实根。f(x)的极大值等于0或极小值等于0f(x)=0有且仅有三个实根，y=f(x）与x
3、轴有且仅有两个交点。f(x)的极大值大于0且极小值小于0，f(x)=0有且仅有三个不等实根。y=f(x）与x轴有且仅有三个交点。三次函数的切线问题与对称中心过点（m,n)引直线与y=f(x)的图像相切的直线的条数问题。可转化为关于x1的三次方程n-f(x1）=f(x1)(m-x1)的不同根的个数问题。三次函数的对称中心为(-b/(3a),f(-b/(3a))过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有二条.三次函数的图像三次函数的图像三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠例题1、函数y＝f(x）=x3
4、+ax2+bx+a2在x=1时,有极值10,那么a,b的值为.例1.解：对吗？我来画图看看反思:极值存在的条件是什么呢？例3．设a为实数,函数f(x）=x3-x2-x+a(1)求f(x)的极值.(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.(1)f(x)的极大值是f(-1/3)=5/27+5,极小值是f(1)=a-1.(2)当a(-∞,-5/27)U(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.例4.已知曲线C:y=4ax3+x,过点Q(0,-1)作C的切线l,切点为P.(1)求证：不论a怎样变化,点P总在一条定直线上;(2)若a>0,过点P且与
5、l垂直的直线与x轴交于点T,求
6、OT
7、的最小值(O为原点).(1)切点Ｐ总在直线y=x+1/2上(2)
8、OT
9、的最小值为2+6.课堂小结导数及其应用函数的单调性极值与最值切线问题三次函数三次函数的图象三次函数的性质与三次方程的关系导数感悟数学发现数学应用数学三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠思考题：三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠已知数列{an}满足2an+1=-an3+3an(n∈N*),且a1=1/2.(1)证明：010、满意多多,惊喜多多!
