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时间:2020-07-26
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一、函数的单调性1.单调函数的定义 2.单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,叫做f(x)的单调区间.二、函数的最值增函数减函数区间D 解析:逐个结合图象判断可知B正确.答案:B 解析:由图象知在(1,+∞)为递增函数.答案:B 答案:B 4.若f(x)在(-∞,+∞)上为减函数且f(1-m)>f(2+m),则m的范围是________.5.已知f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间是(-∞,3],则实数a的值是________.解析:由题意知1-a=3,∴a=-2.答案:-2 函数单调性的判断[听课记录]解法一当2-x≥1,即x≤1时,f(x)=|ln(2-x)|=ln(2-x),此时函数f(x)在(-∞,1]上单调递减.当0<2-x≤1,即1≤x<2时,f(x)=|ln(2-x)|=-ln(2-x),此时函数f(x)在[1,2)上单调递增,故选D. 解法二f(x)=|ln(2-x)|的图象如图所示.由图象可得,函数f(x)在区间[1,2)上为增函数,故选D.[答案]D 1.已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x1,x2满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2,当x>0时,有f(x)>-2.求证:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.证明:设x1<x2,则Δx=x2-x1>0,令x2=Δx+x1.则f(x2)-f(x1)=f(Δx+x1)-f(x1)=f(Δx)+f(x1)+2-f(x1)=f(Δx)+2.∵Δx>0,∴f(Δx)>-2.∴f(Δx)+2>0,即f(x2)-f(x1)>0.∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 求函数的单调区间[例2](2011年高考江苏卷)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________. 答案:B 单调性的应用[例3](2012年北京模拟)定义在R上的偶函数f(x),在(0,+∞)上是增函数,则( )A.f(3)<f(-4)<f(-π)B.f(-π)<f(-4)<f(3)C.f(3)<f(-π)<f(-4)D.f(-4)<f(-π)<f(3)[听课记录]∵f(x)是偶函数,∴f(-π)=f(π),f(-4)=f(4).又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(3)<f(π)<f(4)∴f(3)<f(-π)<f(-4),故C正确.[答案]C [答案]B [听课记录][答案]B [答案]8 1.(2011年高考课标全国卷)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|答案:B 2.(2011年高考四川卷)函数f(x)的定义域为A,若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,则称f(x)为单函数.例如,函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数,下列命题:①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数;②指数函数f(x)=2x(x∈R)是单函数;③若f(x)为单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2);④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号) 解析:答案:②③④ 从高考试题来看,函数单调性的判断和应用是命题的热点,各种题型都有.客观题多与奇偶性相结合考查,主观题多与导数相联系,着重考查数学思想方法的应用. [答案]D 本小节结束请按ESC键返回
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