弹塑性力学讲义-屈服条件.ppt

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八面体与剪应力 n=le1+me2+ne3=(e1+e2+e3)，l＝m＝n＝该斜截面上的正应力是n=T(n)n=l21+m22+n23应力矢量的模为=(l1)2+(m2)2+(n3)2=(l1)2+(m2)2+(n3)2－(l21+m22+n23)2经整理得＝l2m2(1－2)2+m2n2(2－3)2+n2l2(3－1)2 8=(1+2+3)等效应力若将x，y，z轴取为主轴，则J2可由主应力表示为J2=[(12)2+(23)2+(31)2]]简单拉伸时，应力状态为1=，2=3=0，因此得 等效应变，类似于等效应力，它被定义为式中1、2、3是主应变单轴拉伸时，若假定材料是体积不可压缩的，即体积应变为零，则应变状态为1=，2=3=/2，得： 对于简单应力状态，我们可以根据实验很容易确定其屈服条件。（1）单轴拉伸=s（2）纯剪=s对于复杂应力加载，在应力空间中，屈服条件的数学表达式可概括为：f(ij)=0屈服条件屈服条件的一般形式f(1、2、3、1、2、3)=0 两个简化假定：（1）材料初始是各向同性的。与1、2、3无关，f(1，2，3)=0f(I1，I2，I3)=0（2）静水压力不影响塑性状态，f(J2，J3)=0式中J2，J3是偏应力张量s的不变量。 建立由1、2、3为坐标轴的直角坐标系，称之为主应力空间主应力空间中任意一点P（1、2、3）代表物体内一点的应力状态屈服面f(1，2，3)=0代表主应力空间中的一个曲面当P点位于屈服面f(1，2，3)=0上，表示应力状态满足屈服条件。当P点在屈服面内部，即f(1，2，3)<0，表示处在弹性状态。主应力空间 ONQs3s2s1p平面过原点O以为法线的平面，称为平面与各坐标轴夹相同角度平面S 在平面上的一点Q，其应力为1，2，31＋2＋3＝0说明平面上矢量所代表的应力状态只有偏量部分在ON上的一点S，其应力为1，2，31=2=3＝0代表静水压力 =1e1+2e2+3e3=(s1+0)e1+(s2+0)e2+(s3+0)e3=(s1e1+s2e2+s3e3)+(0e1+0e2+0e3)=在应力空间中任意一点P，其应力为1，2，3 对于同一点，平面的平面坐标与主应力空间的空间坐标相互转换关系一个应力状态是否会进入屈服只取决于它平面上的投影将e1、e2、e3，投影在平面上，得，相互间的夹角为 矢量s1e1+s2e2+s3e3，该矢量在平面上的投影为s1cos+s2cos+s3cos与x轴的夹角分别为300和300，而与y轴重合x=(s1s3)=(13)y=(2s2–s1s3)=(2213)与e1轴的夹角 在简单应力状态下，的值分别为：（1）单轴拉伸=1：（2）纯剪=0；（3）单轴压缩=1。若规定123，则11300300极坐标 偏应力由平面坐标表示 屈服面的一般形状是垂直于平面的柱面s2ps1s3 屈服面在平面上的投影在每300分割段中都具有相似形。(1)关于对称。（s1，s2，s3）（s1，s3，s2） （s1，s2，s3）和（s1，s3，s2）两种应力状态在平面上关于对称(2)关于的垂直线对称。 Tresca屈服条件Tresca认为当最大剪应力达到某个极限值时材料将进入屈服f(ij)=x=(s1s3)=(13)=k112=2k113=2k123=2k1若1、2、3不规定大小顺序，则屈服条件是在平面上是直线 材料常数k1值可由简单实验确定（1）单轴拉伸：屈服时1=s，2=3=0，代入屈服条件k1=s/2（2）简单剪切：屈服时=s1=s，2=0，3=s,代入屈服条件k1=ss=2s Mises屈服条件Mises在1913年提出了屈服条件：当偏应力的第二不变量达到某个极限时f(ij)=r=k2=const，Mises屈服条件在平面上是一个圆，在应力空间是一圆柱体， sijeij=sijsij=J2J2与弹性状态的形状改变能成正比J2的物理意义J2也与材料八面体上的剪应力成比例 材料常数k2由简单实验确定（1）单轴拉伸：屈服时1=s，2=3=0，代入屈服条件（2）剪切：屈服时=s1=s，2=0，3=s,，屈服条件J2==k2k2=s。因此，如果材料服从Mises屈服条件，则s=s 两种屈服条件比较如假定单轴拉伸时两个屈服面重合，则Tresca六边形内接于Mises圆；如假定简单剪切时两个屈服面重合，则Tresca六边形外切于Mises圆 例：一薄壁圆管，平均半径为R，壁厚为t，受内压p作用，讨论下列三种情况：（1）  管的两端是自由的；（2）管的两端是封闭的；分别使用Mises和Tresca屈服条件，讨论p多大时管子开始屈服（规定纯剪时两种屈服条件重合）解：将Mises和Tresca中的材料常数k1和k2都使用纯剪时的屈服极限表示，并使得两种屈服条件重合，则有Mises屈服条件:J2=s2Tresca屈服条件:13=2s （1）管的两端是自由的；应力状态为，z=0，=pR/t，r=0，zr=r=zJ2=[(zr)2+(r)2+(z)2+6()]=[2(pR/t)2]=(pR/t)213==pR/t对于Mises屈服条件:p=3st/R对于Tresca屈服条件:13=k1=2sp=2st/R222=s2=kJ （2）管段的两端是封闭的；应力状态为，z=pR/2t，=pR/t，r=0，zr=r=zJ2=[(zr)2+(r)2+(z)2+6()]=(pR/t)213==pR/t对于Mises屈服条件：p=2st/R对于Tresca屈服条件：p=2st/R 例一种材料在二维主应力空间中进行试验，所得屈服时的应力状态为(1，2)=(3t，t)，假定此材料为各向同性，与静水压力无关且拉压屈服应力相等。（1）由上述条件推断在1－2空间中的各屈服点应力。（2）证明Mises屈服条件在1－2空间中的曲线通过（a）中所有点。解：由于静水压力无关的条件得出屈服在以下各点会发生：(1，2，3)=(3t，t，0)+(3t，3t，3t)=(0，2t，3t)(1，2，3)=(3t，t，0)+(t，t，t)=(2t，0，t) 再由于各向同性的条件，很容易看出1－1空间中的以下五个应力点也是屈服点A2：(1，2，3)=(t，3t，0)B1：(1，2，3)=(3t，2t，0)B2：(1，2，3)=(2t，3t，0)C1：(1，2，3)=(2t，t，0)C2：(1，2，3)=(t，2t，0) 还有，由于拉压屈服应力相等，因而可得到1－2空间中的另外六个应力屈服点A3：(1，2，3)=(3t，t，0)A4：(1，2，3)=(t，3t，0)B3：(1，2，3)=(3t，2t，0)B4：(1，2，3)=(2t，3t，0)C3：(1，2，3)=(2t，t，0)C4：(1，2，3)=(t，2t，0)因此，根据这些点的数据，可以作出在1－2空间中的屈服面。容易证明Mises屈服条件通过以上所有屈服点。 Lode实验1926年，Lode进行了薄壁圆筒受拉力T和内水压p共同作用的实验。取圆筒的平均半径为R，厚度为t，任一点的应力状态是=z=r=0 Lode参数为改变T与p的比值关系，可以得到不同的。例如当T=0，=1；T=R2p，=0；T=2R2p，=1。当0T2R2p时，11=1Tresca屈服条件为 Mises屈服条件为建立以（13）/s为纵轴，为横轴的坐标系,将试验结果与屈服条件绘于（13）/s～的坐标系中进行比较 Taylor和Quinneyz实验于1931年在薄壁圆筒受拉力T和扭转M联合作用下进行了实验。在这种情况下，应力状态是 Tresca屈服条件为Mises屈服条件为