FE-Ch01.3变分原理与里兹法.ppt

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1、§1.3变分原理与里兹法“最速落径问题”---质量为m的小环从A处自由滑下，试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦）ABXY设路径为y=y（x）所需时间ay称T为y（x）的泛函，y（x）为自变函数。即以函数作自变量以积分形式定义的函数为泛函。一.变分的一些基本概念XAY变分运算在形式上与微分运算相同。y=y（x）x+dxdyx称为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。微分与变分运算次序可以交换。积分与变分运算次序也可以交换。二.函数的定义和泛函的定义1.函数的定义：若对于自变量x域中的每一个值，y有一值与之对应，或数y对应于数x的关系成立。则称变量y是变量x的函数，即：

2、y=y(x)。2.泛函的定义：若对于某一类函数{y(x)}中的每一函数y(x)，有一值与之对应，或数对应于函数y(x)的关系成立。则称变量是函数y(x)的泛函，即：=(y(x))。3.微分和变分微分:x的增量△x是指某两值之差△x=x-x1.如果x的微分用dx表示，则dx也是增量的一种，即当这种增量很小很小时，dx=△x。变分:y(x)的增量在它很小时称为变分，用y(x)或y表示，y(x)是指y(x)和与它相接近的y1(x)之差，即y(x)=y(x)-y1(x);这里：y(x)也是x的函数，只是y(x)在指定的x域中都是微量。（假定y(x)在接近y1(x

3、)的一类函数中是任意改变的）。4.函数的微分和泛函的变分函数的微分:函数的增量△y=y(x+△x)-y(x)可以展开为线性项和非线性项△y=A(x)△x+(x,△x)△x，其中A(x)和△x无关，(x,△x)则和△x有关，而且△x0时，(x,△x)0，称y(x)是可微的，其线性部分称为函数的微分。即dy=A(x)△x=y’(x)△x。A(x)=y’(x)是函数的导数，而且函数的微分:设为一小参数，并将y(x+△x)对求导数，即得：当趋近于零时证明y(x+△x)在=0处对的导数就等于y(x）在x处的微分。这个定义与拉格朗日处理变分的定义是相似的。泛函的变分

4、:与函数的微分类似，泛函变分的定义也有两个。=[y(x)+y(x)]-[y(x)]=L[y(x)，y(x)]上式中L[y(x)，y(x)]就叫做泛函的变分，用表示。泛函的变分是泛函增量的主部，而且这个主部对于y(x)来说是线性的。泛函的变分:泛函变分是[y(x)+y(x)]对的导数在=0时的值，且拉格朗日的泛函变分定义为：5.极大极小问题如果函数y(x)在x=x0的附近的任意点上的值都不大（不小）于y(x0)，即dy=y(x)-y(x0)0(0)时，在x=x0上达到极大(极小)，在x=x0上，有:泛函极大极小泛函[y(x)]也有相类似的定义

5、。如果泛函[y(x)]在任何一条与y=y0(x)接近的曲线上的值不大（不小）于[y0(x)]，即：=[y(x)]-[y0(x)]0(或0)时，则称泛函[y(x)]在曲线y=y0(x)上达到极大值(或极小值)，而且在y=y0(x)上有:说明：泛函的极大(或极小)值，主要是说泛函的相对的极大(或极小)值，也就是说，从互相接近的许多曲线来研究一个最大(或最小)的泛函值，但是曲线的接近，有不同的接近度。因此，在泛函的极大极小定义里，还应该说明这些曲线有几阶的接近度。强变分和强极大如果对于与y=y0(x)的接近度为零阶的一切曲线而言，即对于y(x)-y0(x)非常

6、小，但对于y’(x)-y’0(x)是否小毫无规定，泛函在曲线y=y0(x)上达到极大(或极小)值，则就把这类变分叫强变分。这样达到的极大(或极小)值叫做强极大(强极小)，或强变分的极大(或极小).弱变分和弱极大如果只对于与y=y0(x)有一阶接近度的曲线y=y(x)而言，或者只对于那些不仅在纵坐标间而且切线方向间都接近的曲线而言，泛函在曲线y=y0(x)上达到极大(或极小)值，则就称这种变分为弱变分。这样达到的极大值(或极小值)叫做弱极大(弱极小)，或弱变分的极大(或极小).6.变分法的基本预备定理变分法的基本预备定理如果函数F(x)在线段(x1,x2)上连续,且对于只满

7、足某些一般条件的任意选定的函数y(x)，有:则在线段上(x1,x2)，有:F(x)=0y(x)的一般条件为：(1)一阶或若干阶可微分；(2)在线段(x1,x2)的端点处为0；(3)y(x)或y(x)及y’(x)等。变分法的基本预备定理：如果函数F(x)在线段(x1,x2)上连续,且对于只满足某些一般条件的任意选定的函数y(x)，有:（1）从物理问题上建立泛函及其条件；（2）通过泛函变分，利用变分法基本预备定理求得欧拉方程；（3）求解欧拉方程，这是微分方程求解问题。从泛函变分极