矩阵理论-第三讲 Jordan标准形.ppt

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1、矩阵理论-第三讲兰州大学信息科学与工程学院2004年1上节内容回顾方阵相似的定义相似矩阵的性质自反性对称性传递性保秩性行列式相等矩阵函数相似特征多项式、特征值相同2上节内容回顾（Continue）方阵可对角化的定义方阵可对角化的充要条件3上节内容回顾（Continue）可对角化方阵的对角化方法由的基构成的矩阵可使4上节内容回顾（Continue）定义Jordan块Jordan矩阵5Jordan标准形（Continue）化方阵A为Jordan标准形特征向量法设如果是A的单重特征值在A的Jordan矩阵中构造一个1阶的Jordan块如果是A的重特征值有k个线性无关的

2、特征向量或者此方法适用于以下能唯一确定Jordan块的特殊情形：：个1阶的约当块，实际上是一个对角块在A的Jordan矩阵中构造k个以为对角元素的Jordan块k个Jordan块的阶数之和等于6Jordan标准形（Continue）特征向量法求矩阵的Jordan标准形举例(1)在A的Jordan矩阵中构造1个以1为对角元素的Jordan块此Jordan块的阶数等于2单重根：7Jordan标准形（Continue）特征向量法求矩阵的Jordan标准形举例(2)在A的Jordan矩阵中构造2个以2为对角元素的Jordan块此Jordan块的阶数等于38Jordan标

3、准形（Continue）初等变换法多项式矩阵（λ矩阵）元素都是变数λ的复系数多项式，称为多项式矩阵或λ-矩阵多项式矩阵的初等变换和秩的定义与常数矩阵类似多项式矩阵等价的定义也与常数矩阵类似由经有限次初等变换得到矩阵多项式对，定义为矩阵A的多项式非零子式的最高阶数不恒等于零的子式的最高阶数9Jordan标准形（Continue）多项式矩阵的Smith标准型可通过有限次初等变换化为其中都是首一多项式，且：多项式整除由唯一确定，称之为的Smith标准形等价的多项式矩阵具有相同的Smith标准形方阵的特征矩阵是一个特殊的多项式矩阵10Jordan标准形（Continue

4、）不变因子称的Smith标准形中非零的对角线元素为的不变因子初等因子将次数大于0的不变因子分解为互不相同的一次因式的幂的乘积（在复数域内，这样的分解是可能的）称为的一个初等因子不变因子和初等因子的性质多项式矩阵经过初等变换后，其秩、不变因子、初等因子均不变规定:11Jordan标准形（Continue）例：求多项式矩阵的Smith标准形和不变因子解：12Jordan标准形（Continue）13Jordan标准形（Continue）14Jordan标准形（Continue）Smith标准形不变因子：15Jordan标准形（Continue）用初等变换法求Jord

5、an标准形的步骤用初等变换化特征矩阵为Smith标准形，求出不变因子（不恒等于0）将次数大于0的不变因子分解为互不相同的一次因式的幂的乘积写出的全部初等因子：其中可能相同16Jordan标准形（Continue）写出每个初等因子对应的Jordan块以这些Jordan块构成的Jordan矩阵即为方阵A的Jordan标准形17Jordan标准形（Continue）初等变换法求矩阵的Jordan标准形举例(1)18Jordan标准形（Continue）初等变换法求矩阵的Jordan标准形举例(1)——Continue不变因子：初等因子：A的Jordan标准形：19Jo

6、rdan标准形（Continue）初等变换法求矩阵的Jordan标准形举例(2)20Jordan标准形（Continue）初等变换法求矩阵的Jordan标准形举例(1)——Continue不变因子：初等因子：A的Jordan标准形：21Jordan标准形（Continue）问题：求矩阵的特征矩阵的不变因子和初等因子解：A的特征矩阵为22Jordan标准形（Continue）多项式矩阵的行列式因子设对于，称的一切k阶子式的最大公因式为的k阶行列式因子是一个变数λ的多项式；规定的最高次项的系数是1（降幂排列是首一的）规定23Jordan标准形（Continue）必有

7、相同的秩及相同的各级行列式因子；多项式矩阵的行列式因子和不变因子之间的关系设，则的k阶行列式因子为其中是的不变因子不变因子的等价定义设，为的k阶行列式因子，则称为的不变因子24Jordan标准形（Continue）问题：求矩阵的特征矩阵的不变因子和初等因子解：A的特征矩阵为25Jordan标准形（Continue）的行列式因子为的不变因子为的全部初等因子为26Jordan标准形（Continue）行列式因子法求方阵的Jordan标准形的步骤求特征矩阵的n个行列式因子根据求出的不变因子求出的初等因子，并据此写出A的Jordan标准形27Jordan标准形（Cont

8、inue）行列式因子法求