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1、机动目录上页下页返回结束数学科学学院陈建华矩阵论机动目录上页下页返回结束1.3Jordan标准形一、-矩阵二、Jordan标准形三、Jordan标准形简单应用目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构----Jordan矩阵。1.定义设P是一个数域，是一个文字，作多项式环P[].一个矩阵，如果它的元素是的多项式，即P[]的元素,就称为-矩阵.讨论-矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上关于若尔当标准形的主要定理.因为数域P中的数也是P[]的元素，所以在-矩阵中也包括以数为元素的矩阵.一、-矩阵矩阵称为数字矩阵
2、.以下用A()，B()，…等表示-矩阵.我们知道，P[]中的元素可以作加、减、乘三种运算,并且它们与数的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法，因此，我们可以同样定义-矩阵的加法与乘法,它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.把以数域P中的数为元素的行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法,因此,同样可以定义一个nn的-矩阵的行列式.一般地，-矩阵的行列式是的一个多项式,它与数字矩阵的行列式有相同的性质.例如,对于-矩阵的行列式，矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积，这一结论，显然
3、是对的.既然有行列式，也就有-矩阵的子式的概念.利用这个概念，我们有秩和可逆矩阵等。秩如果-矩阵A()中有一个r(r1)级子式不为零，而所有r+1级子式(如果有的话)全为零，则称A()的秩为r.零矩阵的秩规定为零。可逆矩阵一个nn的-矩阵A()称为可逆的，如果有一个nn的-矩阵使A()B()=B()A()=E,(1)这里E是n级单位矩阵.适合(1)的矩阵B()(它是唯一的)称为A()的逆矩阵，记为A-1().定理1一个nn的-矩阵A()是可逆的充分必要条件是行列式
4、A()
5、是一个非零数.
6、证明先证充分性.设d=
7、A()
8、是一个非零的数.A*()是A()的伴随矩阵，它也是一个-矩阵，而因此，A()可逆.再证必要性.设A()可逆，则有A()B()=B()A()=E,上式两边取行列式，得
9、A()
10、
11、B()
12、=
13、E
14、=1.因为
15、A()
16、与
17、B()
18、都是的多项式，所以由它们的乘积是1可以推知，它们都是零次多项式，也就是非零的数.证毕例1求下列-矩阵的秩秩为3秩为2例2下列-矩阵中，哪些是可逆的？若可逆求其逆矩阵.初等变换的定义定义下面的三种变换叫做-矩阵的初等变换：(1)矩阵的两行(列)
19、互换位置；(2)矩阵的某一行(列)乘以非零常数c；(3)矩阵的某一行(列)加另一行(列)的()倍，()是一个多项式.和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.2.-矩阵的Smith标准形三种初等变换对应三个初等矩阵i行j行i列j列i行j行i列j列i行i列同样地，对一个sn的-矩阵A()作一次初等行变换就相当于在A()的左边乘上相应的ss初等矩阵；对A()作一次初等列变换就相当于在A()的右边乘上相应的nn的初等矩阵.初等矩阵都是可逆的，并且有P(i,j)-1=P(i,j),P(i(c))-1=P(i(
20、c-1)),P(i,j())-1=P(i,j(-)).由此得出初等变换具有可逆性：设-矩阵A()用初等变换变成B()，这相当于对A()左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘B()就变回A()，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由B()可用初等变换变回A().我们还可以看出在第二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这也是为了使P(i(c))可逆的缘故.-矩阵的等价定义-矩阵A()称为与B()等价，可以经过一系列初等变换将A()化为B().等价的性质:等价是-矩阵之间的一种等价关系。如果
21、-矩阵等价的条件：矩阵A()与B()等价的充分必要条件是有一系列初等矩阵P1,P2,…,Pl,Q1,Q2,…,Qs使A()=P1P2…PlB()Q1Q2…Qs.-矩阵的标准形本段主要是证明任意一个-矩阵可以经过初等变换化为Smith标准形.引理设-矩阵A()的左上角元素a11()0，并且A()中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与A()等价的矩阵B()，它的左上角元素也不为零,但是次数比a11()的次数低.证明根据A()中不能被a11()除尽的元素所在的位置，分三种情况来讨论：1)若
22、A()的第一列中有一个元素ai1()不能被a11()除尽，则有ai1()=a11()q()+r(),其中余式r()0，且次数比a11()的次数低.对A()作初等行变换.把A()的第i行减去第1行的q()倍，得：再将此矩阵的第1行与第i行
