讨论jordan标准形及其过渡矩阵的求法

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1、讨论⑹标准形及其过渡矩阵的求法摘要：本文较系统的总结了hZY/w标准形及其过渡矩阵的通用的求法。关键字：加ZY/6Z/4示准形，特征向量，过渡矩阵一、求解标准形1、通过/I-矩阵求标准形定义hP是一个数域，A是一个文字，作多项式环巧又］。一个矩阵，若它的元素是又的多项式，称其为矩阵，用4(乂)，5(乂)，…表示。定义2:设2—矩阵4(A)的秩为r,对于正整数A，14(A)中必有非零的々级子式，A(A)中全部々级子式的首相系数为1的S大公因式A(又)称为A(A)的々级行列式因子。定义3:乂-矩阵的初等变

2、换:P(i，j)、P(i(e))>PG，J(p))。若AM)经过有限次初等变换变为fi(Z),称A(A)与fi(A)等价。在初等变换过程中，行列式因子是不变的，也就是说等价的A-矩阵具有相同的行列式因子。对任意一个非零的sx/i的矩阵A(2)进行有限次适当的初等变换总能将其化为以下形式的A-矩阵d2(又)0參參<0>其中01，401)(/=1，2广1)是首项系数为1的多项式，H<.(A)

3、<+1(/l)(z=l,2,...r-l)o称其为/l(Z)的标准形。依据以上论述可以求得：R(A)=<(M(A)

4、…<(A)X.(乂)=D,(^(i=1，2,…小(又)因此可以断定2-矩阵的标准形是唯一的。我们称标准形的主对角线上非零元素为A(2)的不变因子；将不变因子分解成力互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的按出现的次数计算)称为的初等因子。下面给山一个定理。定理2:人B为数域P上打级矩阵，4(A)，分别为人B的特征矩阵。以下命题等价••(1)A，B相似(2)A(2)，B(2)等价(3)AU)，B(A)有相同的行列式因子(4)A(A)，BU)有相同的不变因子(5)/1(A)，B

5、(A)有相同的初等因子我们简称矩阵A的特征矩阵-A的三个因子(行列式因子、不变因子、初等因子)为汲的三个因子。从定理2可以看出，三个因子都是矩阵的相似不变量，因此，我们可以将一个线性变换A的任一矩阵的因子定义为A的因子。从以上论述我们可以得到一个寻找相似矩阵最简形的方向：对于矩阵A,我们想办法找到一个形式比较简单的矩阵使得S和A有相同的因子(考虑计算方便的因素，我们选取初等因子)，那么，相似。先给出求矩阵4的初等因子的方法：通过初等变换，将A化为对角形式，将主对角线上的元素分解为互不相同的一次因式方幂

6、的乘积，这些一次因式的方幂就是A的全部初等因子。J=J2♦番，其中人=1A,01…•

7、变因子，从不变因子的角度，构造出了一个与原矩阵A相似的唯一的矩阵。下面，我们从线性空间V本身出发，通过恰当的直和分解來证明定理1。2、通过直和分解求Jwztoz?标准形相似矩阵有相同的特征多项式，所以我们可以定义线性变换A的特征多项式。设线性变换a的特征多项式为•••（/!—A、y,'，名，…，汄是/u）的全部不同的根。可以证明，v可以分解成a-子空间的直和1/=%㊉^㊉…乂，其中，^={^

8、（A-^£）^=0^GV},（Z=l,2,...,y）o记B,.=A-為£，称Bf是％上的一个幂零线性变换，我

9、们现在考虑％上的幂零线性变换B,.。因为'是线性变挽A的特征值，可以断定％关{0}。取％关Oe%，有B=0，故存在正整数使得且B々_1a关0。显然有，向量组…，B/厂、线性无关，则/（〜）为1的一个不变子空间，我们称/（*）为巾％.生成的循环不变子空间。"0、1••显然有：=/对于线性空间利川商空间和子空间直和分解技巧，可以得到如下结论:%可分解为1的循环不变子空间的直和：％=/(%)㊉/(%)©•••©/(%)，则以下向量组(为便于书写和理解，我们用如下形式表示出來)为y的一组基:a2…atB/z丨

10、•參B/z2睿參…•••參•睿B户、••…V'其中，，…，B/>_1%}G=1，2,…，Z)为B,.的一个循环不变子空间的一组基在上面给出的这组基下，8/在<上的矩阵为%、Ji2•,其中二，0、1、•蠡••lJ••0、1。丄则在同一组基下，线性变换A在％上得矩阵为%是前而对V做直和分解的一个子空间，我们将所有的以上形式的基合并为V的一组基，则A在该组基下的矩阵为人?/vton矩阵。值得注意的是：t^=n，tk门'Vt.={^一=也称为属于特/=1./=