高等数学曲线积分与曲面积分习题课.ppt

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1、第八章曲线积分与曲面积分习题课一、主要内容二、线、面积分的基本计算法一、对弧长的曲线积分的概念1.定义被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量2.存在条件：3.推广注意：二、对弧长的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的概念1.定义类似地定义2.存在条件：3.组合形式4.推广即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.四、对坐标的曲线积分的性质五、对面积的曲面积分的定义1.定义六、对面积的曲面积分的性质基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面莫比乌斯带典型单侧曲面:播放曲面法

2、向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:七、对坐标的曲面积分的定义被积函数积分曲面类似可定义存在条件:组合形式:物理意义:八、对坐标的曲面积分的性质九、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终对弧长曲线积分的计算定理注意:特殊情形推广:例1解例2解例3解例4解由对称性,知对坐标的曲线积分的计算定理特殊情形例5计算其中L为摆线上对应t从0到2的一段弧.提示:例6计算其中由平面y=z

3、截球面提示:因在上有故原式=从z轴正向看沿逆时针方向.十、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)选择积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有对面积的曲面积分的计算法则曲面积分例7解•若则有•若则有(前正后负)(右正左负)对坐标的曲面积分计算:一投、二代、三定号(上正下负)则有•若解:把分为上下两部分根据对称性思考:下述解法是否正确:例8.计算曲面积分其中为球面外侧

4、在第一和第五卦限部分.例9解