二面角习题及答案.doc

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1、二面角1.如图三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=，D是BC的中点，且△ADC是边长为2的正三角形，求二面角P-AB－C的大小。DPCAB解：由已知条件，D是BC的中点∴CD=BD=2又△ADC是正三角形∴AD=CD=BD=2∴D是△ABC之外心又在BC上∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形，∴AB⊥AC，又PC⊥面ABC∴PA⊥AB(三垂线定理)∴∠PAC即为二面角P-AB-C之平面角，易求∠PAC=30°2.如图在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，BS=BC，求以BD

2、为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。EDBASC解：∵BS=BC，又DE垂直平分SC∴BE⊥SC，SC⊥面BDE∴BD⊥SC，又SA⊥面ABC∴SA⊥BD，BD⊥面SAC∴BD⊥DE，且BD⊥DC则∠EDC就是所要求的平面角设SA=AB=a，则BC=SB=a且AC=易证△SAC∽△DEC∴∠CDE=∠SAC=60°3.如图：ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面-10-ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，求二面角M-BD-C大小。SRNMOBDPAC解：取OC之中点N，则MN∥PO∵PO⊥面ABCD

3、∴MN⊥面ABCD且MN=PO/2=2，过N作NR⊥BD于R，连MR，则∠MRN即为二面角M-BD-C的平面角过C作CE⊥BD于S则RN=CE在Rt△BCD中，CD·BC=BD·CE∴∴∴DBAEC4.如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=，求二面角A-BD-C的余弦值。解：过A作AE⊥CB的延长线于E，连结DE，∵面ABC⊥面BCD∴AE⊥面BCD∴E点即为点A在面BCD内的射影∴△EBD为△ABD在面BCD内的射影设AB=a则AE=DE=ABsin60°=∴AD=，∴sin∠ABD=∴又-10-∴∴考虑到我们求的

4、是二面角A-BD-E，而二面角A-BD-C与A-BD-C互补∴二面角A-BD-C的余弦值为。5.已知正方体AC'，M、N分别是BB'，DD'的中点，求截面AMC'N与面ABCD，CC'D'D所成的角。D’B’DAC’BA’CMN解：设边长为a，易证ANC'N是菱形且MN=，A'C=∴Ｓ□AMC'N=由于AMC'N在面ABCD上的射影即为正方形ABCD∴Ｓ□ABCD=∴∴取CC'的中点M'，连结DM'则平行四边形DM'C'N是四边形AMC'N在CC'D'D上的射影，Ｓ□DM'C'M=∴-10-∴6.如图AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，若AC=CD=1，∠A

5、BC=30°，求二面角的大小。BFEACD解：作DF⊥AB于F，CE⊥AB于E，∵AC=CD=1∠ABC=30°∴AD=，BC=，AB=2，BD=在Rt△ABC中，，同理∴∴∴∴即所求角的大小为。7.三棱锥A-BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，∠DBC=30°，AB=AC=，AD=4，求二面角A-BC-D的度数。DOABC解：由已知条件∠BAC=90°，AB=AC，设BC的中点设为O，则OA=OC=BC=-10-∴解之得：∴8.如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是，求：二面角A—BD—C、A—BC—D、B—AC—D的大小.解析：(1)

6、取BD的中点O，连AO、OC.在ΔABD中，∵AB＝AD＝，BD＝2，∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥BD.∴∠AOC是二面角A—BD—C的平面角又AO＝OC＝1，AC＝，∴∠AOC＝90°.即二面角A—BD—C为直二面角.(2)∵二面角A—BD—C是直二面角，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD.∴ΔABC在平面BCD内的射影是ΔBOC.∵SΔOCB＝,SΔABC＝,∴cosθ＝.即二面角A—BC—D的大小是arccos.(3)取AC的中点E，连BE、DE.∵AB＝BC，AD＝DC，∴BD⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED就是二面角的平面角.在

7、ΔBDE中，BE＝DE＝，由余弦定理，得cosα＝-∴二面角B—AC—D的大小是π-arccos.评析本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S′＝S·cosθ求得.又EG∥AB，故易得tan∠AEG=tan∠BAE=.9.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a,E是PA的中点.(1)求证平面BDE⊥-10-平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角A—EB—D的平面角大小.解析：(1)设O是AC，BD的交点，

8、连结EO.∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点，∵E是PA的中点，∴EO∥P