数学建模初步2007.4.ppt

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1、数学建模初步数学模型的分类数学建模的基本方法和步骤什么是数学模型数学建模示例什么是数学模型玩具、照片、飞机、火箭模型……实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机……物理模型地图、电路图、分子结构图……符号模型什么是数学模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征什么是数学模型对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括假设、表述、求解、解释、

2、检验等）数学模型数学建模当今人类面临的五大问题：（1）人口问题；（2）工业化的资金问题；（3）粮食问题；（4）不可再生的资源问题；（5）环境污染问题（即生态平衡问题）。人口问题名列榜首。例人口增长模型建立人口增长的数学模型，用以描述人口增长过程，通过分析对人口增长进行预测，制定相应的人口政策以控制人口增长，于国于民均有利。●始于1798年,Malthus提出了Malthus人口模型。例人口增长模型●1838年,P.F.Verhust，得出了Logistic模型●1924年,G.V.yule于引入概率观点对

3、人口问题进行研究●20世纪40年代后,各种比较精细的人口模型建立起来●按龄离散人口模型由P.H.Leslie在1945年完成●按龄连续型人口模型在1959年由Van.H.Fpoerster提出●近年来我国学者为了解决我国人口迅猛增长问题，作了大量调查研究，建立了不少人口模型，为国家制定相应的人口政策提供依据。影响因素人口的基数出生率和死亡率工农业生产水平性别比例……年龄结构医疗水平环境污染只考虑影响人口增长的主要因素——增长率（出生率减去死亡率）及人口基数。设表示t时刻人口总数和增长率，则在t到这段时间内

4、人口总数增长为两端同除以，并令，有Malthus模型假设：人口增长率是一个常数.令(常数)，得其解为检验据统计1961年全世界人口总数为在此之前的10年人口按每年2%的速率增长,因此于是这个公式非常准确地反映了在1700-1994年期间世界估计人口总数。预测p(2510)=2,000,000(亿)；p(2670)=36,000,000(亿)；星球的总表面积约18,600,000亿ft2，80%被水覆盖，到2510年，每人占地面积只有9.3ft2,到2670年，每人占地面积只有0.5167ft2。显然，这些

5、数字说明Malthus人口模型对长期预测是不正确的。模型改进：Logistic模型Malthus模型中关于人口增长率为常数这一假设不怎么合理.应将净增长率r看成人口数N的线性函数,设r(N)=a+cN,并设r(0)=r,且存在一个数值K使r(K)=0.即有求解得r(N)=r(1N/K)，因此模型分析得到Logistic模型：;0)(,,0.1®¥®时,均有当的任意值，对若.)(0.30NtNr==时，若据生物学家估计，r的自然值为0.029，196

6、1年人口总数为时，人口的增长速率为2%。由此可得地球上的人口总数的极限值为●美国人口的增长，就符合Logistic模型。皮尔(Pearl)和里德(Reed)提出的美国人口增长的数学模型为检验表11790-1950年美国人口总数●1845年弗胡斯特曾预言比利时人口的最大值为660万人，法国人口的最大值为4000万人。但在1930年比利时人口已经达到809万人，二者相差很大。经过分析，因为在当时比利时的工业飞速发展，使得比利时有足够的财富供养更多的人口。因此，在比利时工业飞速发展以后，对比利时的Logisti

7、c人口模型中的K应作适当调整。检验表11790-1950年美国人口总数年实际数值预测值误差%17901800181018201830184018501860187018801890190019101920193019401950392900053080007240000963800012866000170690002319200031443000385580005015600062948000759950009197200010571100012275500013166900015069700039290

8、00533600072280009757000131090001750600023192000304120003947200050177000627690007687000091972000107559000123124000136653000149053000028000-120001190002430004370000-103100081400021000-179000875000018480003490004984000