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《数值计算方法课件-CH6 逐次逼近法—6.2 解线性方程组的迭代法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第六章逐次逼近法6.2解线性方程组的迭代法数值计算方法解线性方程组的迭代法线性方程组--------(2.1)1）系数矩阵A是不断变动的，若A阶数很高,则运算量将会很大，占用计算机内存就很大；2）程序实现较复杂。直接法求解存在的问题：1）求解过程中系数矩阵不变，且程序设计简单；2）存在着迭代收敛性和收敛快慢的问题。迭代法求解的优缺点：一、迭代法的基本思想线性方程组--------(2.1)应用迭代法求解时，可将(2.1)变形为等价方程组--------(2.2)显然,(2.1)式和(2.2)式同解。用不同方式构造迭代公式可以得到
2、不同的迭代法。(2.2)式称为迭代公式B迭代矩阵对线性方程组采用以下步骤:依此类推，得到一个向量序列：如何建立迭代公式？现假设已导出与等价的迭代公式，那么计算的解就变成求序列的极限。--------(2.2)--------(2.3)通常称使用（2.3）式求解的方法为求解线性方程组的迭代法，也称为迭代过程或迭代格式。迭代法在迭代过程中产生了一个序列，如果其极限存在,即则称迭代法收敛,否则称迭代法发散。将它们记作统一的一般形式为：求解线性方程组问题转化为求序列极限问题由于则为方程组的解,从而也是的解.用迭代法求解,就是求向量序列的
3、极限建立两种简单迭代格式研究内容Jacobi迭代法迭代法的收敛条件Gauss-Seidel迭代法二、简单迭代法也称基本迭代法研究对象——线性方程组：注:非奇异,且将上述方程组改写为：Jacobi迭代法--------(2.5)上式的迭代格式：--------(2.4)(2.5)式或--------(2.7)(2.5)式或(2.6)式称为Jacobi迭代法--------(2.6)00A=-L-UD写成矩阵形式：A=-L-UDJacobi迭代阵BJfJ方程组Ax=b迭代格式：--------(2.8)Jacobi迭代法求解方程
4、组的一般步骤：列写迭代格式;标量形式矩阵形式2.选初值;3.将初值代入迭代格式,得迭代序列;何时停止？4.判断前后两次计算解的差值(范数)是否小于事先给定的误差限,若,停止迭代,作为方程组的解;否则继续迭代,直至收敛.例1:用Jabobi迭代法求解线性方程组1.列写迭代格式解:-----------①要求时停止计算。2.选初值x(0)=(0,0,0)T,直接代入以上迭代格式,得解序列x(1),x(2),…,x(k),…或将①式写为或按下式计算得迭代格式2.将初值x(0)=(0,0,0)T代入以上迭代格式,得解序列x(1),x(2
5、),…,x(k),…3.按给定误差限判断x(k)是否可作为最终解.Jacobi迭代的缺点:对Jacobi迭代法进行加工,得到:实际上,比精确！对已算信息未能充分利用,如Gauss-Seidel(G-S)迭代法--------(2.9)(2.9)式--------(2.10)Gauss-Seidel迭代法，简称G-S法写成矩阵形式：BGfGGauss-Seidel迭代阵--------(2.10)迭代格式：例2:用G-S迭代法求解例1中的线性方程组1.由例1结果直接得解:2.将初值x(0)=(0,0,0)T直接代入以上迭代格式,得
6、解序列x(1),x(2),…,x(k),…3.按给定误差限判断x(k)是否可作为最终解.注:相对于Jacobi迭代法,G-S迭代法具有以下特点更快的收敛速度(前提是这两种方法都收敛时)三、迭代法的收敛性迭代法简单易于编程，但迭代法的求解过程相当于求极限的过程，如何判断这个极限过程是否收敛是一个需要考虑的问题。实际中使用的迭代法应该是收敛的。这里先给出用线性方程组的系数矩阵和迭代格式的迭代矩阵进行判断的方法，这两种方法都是判断收敛性的充分条件，然后给出用谱半径判断收敛性的充分必要条件。定理1（P221）若线性方程组Ax=b中的系数
7、矩阵A为严格对角占优阵,即则Jacobi迭代法和G-S法均收敛.(判断收敛性的充分条件)矩阵A的主对角线上元素的绝对值大于与其同一行的其他元素绝对值的和定理2（补充的内容）如果线性方程组Ax=b中的迭代格式为且迭代矩阵B满足则迭代法对任意给定的初值均收敛.(判断收敛性的充分条件)B的行范数等于B中每一行所有元素绝对值和的最大值定理3（P220）迭代法对任意和f均收敛的充要条件为这里为矩阵B的谱半径.定理3的应用步骤：1）确定迭代矩阵B；2）求矩阵B的特征值；3）用谱半径判断迭代法收敛性.选择使用判定定理的原则:首先,判断系数矩
8、阵A是否为严格对角占优;若A不是严格对角占优,求出(Jacobi法和G-S法的)迭代矩阵B,判断B的∞范数是否小于1;若以上两条件均不满足,求迭代矩阵B的谱半径,判断是否小于1.注意:1)若对同一个线性方程组Ax=b，Jacobi法和G-S法都收敛，则G-S
