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1、二00六年高考数学专题复习函数的综合应用§1.3函数的综合应用一、考试内容1.映射、函数、函数的单调性、奇偶性．2.反函数．互为反函数的函数图像间的关系．3.指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数4.对数．对数的运算性质．对数函数．5.函数的应用．二、考试要求1.了解映射的概念，理解函数的概念．2.了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质．5.理解对
2、数的概念，掌握对数的运算性质．掌握对数函数的概念、图像和性质．6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．§1.3函数的综合应用三、怎样学好函数学习函数要重点解决好四个问题：准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识.(一)准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主
3、线.§1.3函数的综合应用三、怎样学好函数(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面：(1)原始意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中.§1.3函数的综合应用三、怎样学好函数(三)把握数形结合的特征和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要
4、从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.(四)认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识.§1.3函数的综合应用§1.3函数的综合应用例1.设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=-4.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)在区间［-9，9］
5、上，求f(x)的最值.(1)证明：令x=y=0,得f(0)=0令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数§1.3函数的综合应用(2)解:任取实数x1、x2∈［-9,9］且x1＜x2,这时，x2-x1>0,f(x1)-f(x2)=f［(x1-x2)+x2］-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=-f(x2-x1)因为x>0时f(x)＜0,∴f(x1)－f(x2)>0∴f(x)在［-9，9］上是减函数故f(x)的最大值为f(-9),最小值为f(9).而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=-
6、12,f(-9)=-f(9)=12.∴f(x)在区间［-9，9］上的最大值为12，最小值为-12.例1.设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=-4.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)在区间［-9，9］上，求f(x)的最值.§1.3函数的综合应用例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.(1)求f()、f();(2)证明f(x)是周期函数；(3)记an=f(2
7、n+),求§1.3函数的综合应用(1)解：因为对x1,x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)§1.3函数的综合应用(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1-x),即f(x)=f(2-x),x∈R.又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),x∈R∴f(-x)=f(2-x),x∈R.将上式中-x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期.§1.3函数的综合应用(3)解：由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］又∵f(x)的一个周期是2§1.3函数的综合应用命
8、题意图：本题主要考查函数概念，图象,函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力.知
