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1、行列式的定义和性质1.二阶行列式—平行四边形的有向面积称为二阶行列式,记作是平行四边形OAPB的有向面积,是两个向量或的函数,计算公式:或从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使则就是以OA,OB,OC为棱的平行六面体的有向体积。称为三阶行列式，记作2.三阶行列式—平行六面体体积三阶行列式的基本性质(3)det(e1,e2,e3)=1,e1,e2,e3分别是三条坐标轴上的单位向量.)可以看作的乘积来展开.(1)det((2)如果三个向量中有两个相等,则det()=0.将三个向量中的任意两个互换位置,则det()变为原来值的相反数。利用基本性质计算三阶行列式(2.1)这样的项
2、可以从(2.1)中去掉。只剩下i,j,k两两不相等的项。(2.1)变成当i,j,k中有两个相等时，代入(2.2),得又类似地有(2.2)我们有类似地有其中3.n阶行列式它应具有以下基本性质：(1)是的某种乘积，可以按乘法法则展开。(2)如果n个向量中有两个相等,则=0。将n个向量中的任意两个互换顺序，则变为。(3)det(e1,e2,…,en)=1，其中n维列向量ei的第i分量为1、其余分量为0。是由决定的“n维体积”利用基本性质计算n阶行列式(3.1)当i1,i2,…,in中有两个相等时，这样的项可以从(3.1)中去掉。只剩下i1,i2,…,in两两不相等的项,(3.1)
3、中的变成对1,2,…,n的全体排列(i1,i2,…,in)求和,成为:将排列中任意两个数相互交换位置,称为这个排列的一个对换。相应地，行列式中的互换了位置，其值变为原来值的相反数。进行若干次对换(设为s次)可以将排列变成标准排列(12…n),相应地将变成(3.2)以下只须对每个排列求可以证明,的值由排列唯一决定,我们将记为sgn。则sgn代入(3.3)得到(3.3)于是得这可以作为n阶行列式的定义。(3.4)
