反证法(1).ppt

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1、27.3.6反证法百尺河沈海伟欢迎指导一、问题情境小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”你能对小华的判断说出理由吗？假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。小华的理由：我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。例：甲命题“在△ABC中，如果AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C＝90°，那么a２＋b２＝c２”是真命题．（勾股定理）乙命题“在△ABC中，如果AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°，那么a２＋b２≠c２”是真命题吗？假设a２＋b２＝c２，根据勾股定理的

2、逆定理，一定有∠C＝90°，这与已知条∠C≠90°矛盾，因此，假设a２＋b２＝c２是错误的，于是可知a２＋b２≠c２．这就说明：命题“在△ABC中，如果AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°，那么a２＋b２≠c２”是真命题．先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法叫做“反证法”．二、反证法的步骤(1)从命题的结论的否定面出发；(2)根据正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾；与已知定义、公理、定理等矛盾；出现与临时假设矛盾；在证明过程中出现自相矛盾等等）则否定

3、假设；(3)肯定原命题的结论是正确的。简记：否定结论――推出矛盾――肯定结论，其中推出矛盾是关键。万事开头难，让我们走好第一步！写出下列各结论的反面：（1）a//b；（2）a≥0；（3）b是正数；（4）a⊥ba<0b是0或负数a不垂直于ba∥b感受反证法:１.求证：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等．这与已知条件AB≠AC相矛盾，假设错误。求证：∠B≠∠C尝试解决问题已知：在△ABC中，AB≠AC。证明：假设∠B=∠C。所以AB=AC（等角对等边）所以∠B≠∠C。２.在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗？

4、请证明你的猜想．谁来试一试！3.已知：如图△ABC中，D、E两点分别在AB和AC上求证：CD、BE不能互相平分（平行四边形对边平行）做一做学习是件很愉快的事证明：假设CD、BE互相平分连结DE，故四边形BCED是平行四边形∴BD∥CE这与BD、CE交于点A矛盾假设错误，∴CD、BE不能互相平分例2：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．已知：△ABC．求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°．证明：　假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°．。于是∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝18

5、0°，与三角形的内角和等于180°矛盾．所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°．例3、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论.已知：在△ABC中，AB=AC.求证：∠B、∠C为锐角.证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：(1)两个底角都是直角；(2)两个底角都是钝角；1)由∠A=∠B=90°则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°，这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.(2)由90°＜∠B＜180°，90°＜∠C＜180°，则∠A+∠B+∠C>18

6、0°，这与三角形内角和定理矛盾.∴两个底角都是钝角这个假设也不成立．故原命题正确 ∴等腰三角形的底角必定是锐角.说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.大家议一议！通过本节内容的学习，你们觉得哪些题型宜用反证法？我来告诉你（经验之谈）（1）以否定性判断作为结论的命题；（2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；（3）关于“唯一性”结论的命题；（4）一些不等量命题的证明；（5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等等.(如

7、平行线的传递性的证明）注意:用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。作业：Ｐ57习题：7作业本独立作业知识的升华祝你们学习进步！