选修1-2___2.2.2反证法课件.ppt

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1、2.2.2反证法反证法2.2直接证明与间接证明复习1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法结论已知条件前言：推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。反证法是继前面学习完推理知识后，证明方法中的一种（间接证明问题的）基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养逆向思维能力。将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有5

2、个球是同色的。你能证明这个结论吗？假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4，则球的总数不应超过8，这与球的总数是9相矛盾假设不正确，因此，无论怎样染至少有5个球是同色的思考：探究：思考1：掀起你的盖头来——认识反证法思考2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎,则C真.那么A假且B假;由A假,知B真.这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.思考3桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币.那么无论怎样翻转，都不能使硬

3、币全部反面朝上.你能解释这种现象吗？1．反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过，最后得出，因此说明假设，从而证明了原命题，这样的证明方法叫做反证法．反证法是的一种基本方法．2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与矛盾，或与矛盾，或与定义、公理、、_____矛盾等．正确的推理矛盾错误成立间接证明已知条件假设定理事实反证法的思维方法：正难则反假设不是无理数，那么它就是有理数.我们知道，任一有理数都可以写成形如的形式.下面我们看看能否由此推出矛盾.1．反证法证明数学命题的四个步骤：第一步：分清命题的条件和

4、结论；第二步：做出与命题结论相矛盾的假设；第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真．探究2：深度挖掘——了解反证法课本P91练习1、22.常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾．[补例2]求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.[证明]假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°

5、.相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A、∠B、∠C都小于60°的假设不能成立，从而一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.名家情系反证法反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具。牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一”。英国数学家哈代也曾这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让给对方！”---德国数学家希尔伯特说，禁止数学家使用反证法，就象禁止拳击家使用拳头。同学们，

6、学了这节课，你们有何体会？反思与收获你能谈谈举反例与反证法的联系和区别吗？反证法的思维方法：正难则反常见的“结论词”与“反设词”如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p∨q(¬p)∧(¬q)至多有n个至少有n＋1个p∧q(¬p)∨(¬q)[例4]求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.[证明]假设bc＝0，则有三种情况出现：(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0；x1＝x2＝0是

7、方程x2＋bx＋c2＝0的根，这与已知方程有两个不相等的实根矛盾．(2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0，但当c≠0时x2＋c2≠0与x2＋c2＝0矛盾．(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程的根为x1＝0，x2＝－b，这与已知条件：方程有两个非零实根矛盾．综上所述，bc≠0.[说明](1)反证法是利用原命题的否定不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能

8、”等字样时，常用反证法．我来告诉你1.存在性问题2.否定性问题3.唯一性问题4.至多、至少类问题5.一些基本命题、基本定理哪些问题适宜用反证法总之，直接证明比较困难的命题大家议一议！[规律方法]当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，