Bernstein Bezout矩阵与可控制型可观测型矩阵之间的联系.pdf

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1、第34卷第2期重庆工商大学学报(自然科学版)2017年4月Vol．34NO．2JChongqingTechnolBusinessUniv.(NatSciEd)Apr．2017doi:10．16055/j．issn．1672－058X．2017．0002．003BernsteinBezout矩阵与可控制型/可观测型*矩阵之间的联系＊＊郑婷婷，吴化璋(安徽大学数学科学学院，合肥230039)摘要:通过多项式标准幂基与Bernstein基之间的转换关系给出了经典Bezout矩阵与BernsteinBezout矩阵之间的相互联系;同时，由标准线性控制

2、系统中的可控制型/可观测型矩阵构造出Bernstein基下的线性控制系统理论中的(广义)可控制型/可观测型矩阵，并建立BernsteinBezout矩阵与对应的(广义)可控制型/可观测型矩阵之间的联系，所得结果和标准幂基下的有关结果是平行的．关键词:标准幂基;Bernstein基;Bezout矩阵;BernsteinBezout矩阵;可控制型/可观测型矩阵中图分类号:O151文献标志码:A文章编号:1672-058X(2017)02-0012-04的表达式，即0引言nif(x)≡a(x)=Σaixi=0m用Ｒn［x］表示实数域Ｒ上次数不超过n

3、－1的g(x)≡b(x)=Σbxiii=0线性多项式空间，令考察下面分别由a(x)与b(x)生成的关于标准幂基n－1Tπ(x)=(1，x，…，x)的双线性函数:(n－1)(n－1)(n－1)TB(x)=(β0(x)，β1(x)，…，βn－1(x))分别是n－1a(x)b(y)－a(y)b(x)ijTi(k)=Σzijxy=P(x)(zij)P(y)Ｒn［x］中由标准幂基{x}和Bernstein基{βi(x)=x－yi，j=0k(1)k－ii()(1－x)x}构成的n维列向量．对于Ｒn［x］中两和f(x)与g(x)生成的关于Bernstein

4、基的双线性i个给定的多项式f(x)和g(x)，设它们的次数满足函数:n－1条件m=degg(x)≤degf(x)=n，并假设f(x)和g(x)f(x)g(y)－f(y)g(x)=b(n－1)(n－1)Σzijβi(x)βj(y)x－yi，j=0关于Bernstein基的表达式为nn(2)n－iif(x)=Σfi()－x)x)为a(x)和i=0i(1称由式(1)所确定的矩阵B(a，b)=(zij［1］mmb(x)生成的经典Bezout矩阵，由式(2)确定的矩m－iig(x)=Σgi()(1－x)x(b)bi=0i阵B(f，g)=(zij)为f(

5、x)和g(x)生成的Bernstein［2］又设a(x)和b(x)分别是它们对应的关于标准幂基Bezout矩阵．收稿日期:2016－06－07;修回日期:2016－07－05．*基金项目:安徽省自然科学基金(1208085MA02);安徽大学大学生科研训练项目(A01414110)．作者简介:郑婷婷(1997－)，女，陕西西安人，从事应用数学研究．＊＊通讯作者:吴化璋(1966－)，男，安徽全椒人，教授，博士，从事矩阵与算子理论研究．E－mail:wuhz@ahu．edu．cn．第2期郑婷婷，等:BernsteinBezout矩阵与可控制型/

6、可观测型矩阵之间的联系13Bezout矩阵的研究有着悠久的历史，起初主要0)，它的(关于标准幂基)第二伴侣矩阵记为用来判断多项式的求根问题．近些年，由于它在多项æ－p0ö00…0式与线性控制系统理论、线性系统的实现理论、结çpn÷ç÷［3-6］构矩阵理论等领域有着广泛的应用，从而受到ç－p÷1ç10…0÷数学工作者和工程技术人员的重视．近些年来，pçn÷［7-12］C(p)=Bezout矩阵被推广到一些多项式基下进行研究．ç01…÷ç÷最近，文献［2］讨论了Bernstein多项式基下的ç0÷(k)Bezout矩阵．所谓Berns

7、tein多项式，即形如βi(x)=ç－p÷n－1kçç0…01÷÷－x)k－ixi，0≤i≤k的多项式，其中每个多项式èpø()ni(1它的(关于Bernstein多项式基)广义伴侣矩阵记为的次数都是k次．Bernstein多项式在计算机辅助几(b)－1C(p)=TC(p)T(6)［13］何设计中的Bezier曲线方面有着重要应用．事实众所周知，经典Bezout矩阵有如下的Barnett上，在Bezier曲线的有关计算方面，通常需要检验两分解．个多项式的互素性，并将有关的多项式通过［4］引理1经典Bezout矩阵满足下列公式:Bernstei

8、n多项式基表示出来．这些问题的研究与TB(a，b)=S(a)b(C(a))(7)Bezout矩阵有着密切的关系，读者可以参看Winkler(b)对于Bernstei