(新课程)高中数学《3.2一元二次不等式及其解法》课件1 新人教A版必修5.ppt

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1、第1课时一元二次不等式的解法3.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系自学导引1．2．Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象2没有实数根{x

2、xx2}：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)具备哪些条件时，解集为R或∅？提示：当a>0，Δ<0时，解集为R.当a<0，Δ≤0时，解集为∅.解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二

3、次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)，或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m0，则可得x>n或x

4、式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x16；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6.[思路探索]先将二次项系数化为正，再求对应方程的根．并根据情况结合二次函数图象，写

5、出解集．解(1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0.∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.∴原不等式的解集为{x

6、x<－1或x>6}．(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，【例1】(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x

7、1

8、＋6>0；(3)(5－x)(x＋1)≥0.解(1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点．∴原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝62－40＝－4<0，∴原不等式的解集为∅.(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x

9、－1≤x≤5}．【变式1】解关于x的不等式(a∈R)：(1)2x2＋ax＋2>0；(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.[思路探索](1)对相应方程的判别式进行讨论，按照一元

10、二次不等式的解法求解；(2)先对不等式中二次项的参数讨论，再按照不等式的求法求解．解(1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4

11、．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.解(i)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x

12、x<2}．【变式2】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为(1,2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．审题指导可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，故由根与系数的关系可求出a，b的值，从而得解．题型三三个“二次”间对应关系的应用【例3】【题后反思】求一般的一元二次不等式ax2＋b

13、x＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，可由二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．因此一元二次不等式解集的区间端点，就是其对应的函数的零点，也就是其对应的方程的根．已知不等式ax2－b